Resolva:
Dica:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e fornece a dica para tentar uma solução particular do tipo
A tarefa é encontrar a solução geral
da equação diferencial (ou seja, todas as soluções).
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): para uma equação linear não-homogênea de segunda ordem a solução geral é a soma da solução geral da equação homogênea associada (chamaremos de
) mais uma solução particular
:
Isto vale porque a equação é linear e superposição funciona: se
anula a parte homogênea e
é uma solução particular, então sua soma satisfaz a equação completa. Vamos achar
e
.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada. A parte homogênea é
Integrando uma vez obtemos
onde
é constante. Integrando novamente,
onde
é outra constante de integração. Portanto qualquer combinação linear
é solução da homogênea.
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular usando a dica. Tomamos
onde
e
são constantes a determinar (método dos coeficientes indeterminados). Calculamos as derivadas de
:
Nota rápida: ao derivar
aparece um fator
, por isso o sinal trocou na primeira derivada; ao derivar de novo o sinal volta positivo no segundo derivado.
Passo 5
Substituímos
na equação dada e igualamos à parte não-homogênea:
Como
e
são funções linearmente independentes, podemos comparar coeficientes termo a termo:
Portanto a solução particular é
Passo 6
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, se houver.
Passo 7
Verificação alternativa (método rápido e útil na prova): integrar a equação duas vezes diretamente.
Primeira integração:
Primeira integração:
Segunda integração:
Chega-se à mesma expressão para
. Essa forma direta é prática quando a equação é simplesmente
função conhecida.
Passo 8
Conclusão e checagem: diferenciando duas vezes a solução geral encontrada devolve exatamente
, logo a solução está correta. Força aí — essa questão é bem direta e ótima para garantir pontos rápidos na prova!