Resolva:
x^{\prime \prime}=e^{t}+e^{-t} \quad Dica: x_{p}=A e^{t}+B e^{-t}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x'' = e^{t} + e^{-t},
e fornece a dica para tentar uma solução particular do tipo
x_{p} = A e^{t} + B e^{-t}.
A tarefa é encontrar a solução geral x(t) da equação diferencial (ou seja, todas as soluções).

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): para uma equação linear não-homogênea de segunda ordem a solução geral é a soma da solução geral da equação homogênea associada (chamaremos de x_{h}) mais uma solução particular x_{p}:
x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t).
Isto vale porque a equação é linear e superposição funciona: se x_{h} anula a parte homogênea e x_{p} é uma solução particular, então sua soma satisfaz a equação completa. Vamos achar x_{h} e x_{p}.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada. A parte homogênea é
x''=0.
Integrando uma vez obtemos
x' = C_{1},
onde C_{1} é constante. Integrando novamente,
x_{h}(t)=C_{1}t+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Portanto qualquer combinação linear C_{1}t+C_{2} é solução da homogênea.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular usando a dica. Tomamos
x_{p}(t)=A e^{t}+B e^{-t},
onde A e B são constantes a determinar (método dos coeficientes indeterminados). Calculamos as derivadas de x_{p}:
x_{p}'(t)=A e^{t}-B e^{-t},
x_{p}''(t)=A e^{t}+B e^{-t}.
Nota rápida: ao derivar e^{-t} aparece um fator -1, por isso o sinal trocou na primeira derivada; ao derivar de novo o sinal volta positivo no segundo derivado.

Passo 5

Substituímos x_{p}'' na equação dada e igualamos à parte não-homogênea:
A e^{t}+B e^{-t}=e^{t}+e^{-t}.
Como e^{t} e e^{-t} são funções linearmente independentes, podemos comparar coeficientes termo a termo:
A=1,\qquad B=1.
Portanto a solução particular é
x_{p}(t)=e^{t}+e^{-t}.

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)=C_{1}t+C_{2}+e^{t}+e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, se houver.

Passo 7

Verificação alternativa (método rápido e útil na prova): integrar a equação duas vezes diretamente.
Primeira integração:
x''=e^{t}+e^{-t}\quad\Rightarrow\quad x'=\int(e^{t}+e^{-t})\,dt=e^{t}-e^{-t}+C_{1}.
Segunda integração:
x=\int\big(e^{t}-e^{-t}+C_{1}\big)\,dt=e^{t}+e^{-t}+C_{1}t+C_{2}.
Chega-se à mesma expressão para x(t). Essa forma direta é prática quando a equação é simplesmente x''= função conhecida.

Passo 8

Conclusão e checagem: diferenciando duas vezes a solução geral encontrada devolve exatamente e^{t}+e^{-t}, logo a solução está correta. Força aí — essa questão é bem direta e ótima para garantir pontos rápidos na prova!

Resposta

x(t)=C_{1}t+C_{2}+e^{t}+e^{-t}

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