Resolva:
x^2 y^prime prime+x y^prime+y=1

Passo 1

Aqui a gente tem uma equação de Euler–Cauchy não homogênea:
x^2y''+x y'+y=1
O conteúdo envolve reconhecer esse tipo de ODE de coeficientes variáveis e usar o método de tentarmos uma solução do tipo y=x^r para a parte homogênea, e depois achar uma particular.

Passo 2

Para resolver a parte homogênea
x^2y''+x y'+y=0,
fazemos o palpite y=x^r, então
y'=r x^r-1,
y''=r(r-1)x^r-2
Substituindo:
que simplifica para
x^2l(r(r-1)x^r-2)+xl(r x^r-1)+x^r=0
ou seja
r(r-1)+r+1=0
logo r^2+1=0.

Passo 3

Como r=pm i, a solução geral da homogênea é
yh=C1cos(ln(x))+C2sin(ln(x))
Isso vem do fato de x^i=e^iln(x)=cos(ln(x))+isin(ln(x)).

Passo 4

Para achar uma solução particular yp da equação completa, observamos que o termo independente é constante, então tentamos yp=A. Como yp'=yp''=0, a equação vira
0+0+A=1
logo
A=1

Resposta

y=C1cos(ln(x))+C2sin(ln(x))+1

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