Se f: U subset R^n é uma função de classe C^2, então
Hess f(X, y)=lang<=(Hess f) X, Yrang<=
para todo X, Y in R^n é bilinear simétrica e chama-se forma Hessiana de f. Se p in U é ponto crítico para f e gamma:(-epsilon, epsilon) U é uma curva diferenciável tal que gamma(0)=p e dotgamma(0)=v, verifique que
(a) (Hess f)(p)(v, v)=d^2d t^2(f circ gamma)(0);
(b) se p in U é ponto de mínimo local para f , então p é ponto crítico de f e a forma (Hessf)§ é positiva, semi-definida;
(c) se p in U é ponto crítico para f e (Hessf)§ é positiva definida, então p é ponto de mínimo local estrito para f.

Passo 1

O enunciado considera uma função de classe e introduz a forma bilinear simétrica dada por
Queremos mostrar três coisas para um ponto crítico ( ) e para qualquer curva diferenciável com e :
(a) .
(b) Se é mínimo local de , então e é semidefinida positiva.
(c) Se e é definida positiva, então é mínimo local estrito de .

Passo 2

Calculemos a primeira e a segunda derivada de h(t)=f(gamma(t)).
Pela regra da cadeia,
h'(t)=llang<=nabla f(gamma(t)),,dotgamma(t)rrang<=
Diferenciando de novo e usando que nabla f é C^1,
h''(t) =llang<= D(nabla f)(gamma(t)),dotgamma(t),,dotgamma(t)rrang<= +llang<=nabla f(gamma(t)),,ddotgamma(t)rrang<=

Passo 3

Em temos e . Se é ponto crítico, , então o segundo termo some em e o primeiro termo é, por definição da forma Hessiana,
Isso prova (a).

Passo 4

Suponha agora que é mínimo local de .
Então para toda curva como acima, tem mínimo em . Logo e .
Como era arbitrária, deduzimos que (de ) e
ou seja, a forma Hessiana é semidefinida positiva. Isso encerra (b).

Passo 5

Finalmente, se e é definida positiva, então para todo temos .
Pelo desenvolvimento de Taylor de segunda ordem em ,
Como , para pequeno e não nulo temos . Isso mostra que é mínimo local estrito e prova (c).

Resposta

(a) .
(b) Se é mínimo local então e é semidefinida positiva.
(c) Se e é definida positiva então é mínimo local estrito.

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