Se
é uma função de classe
, então
para todo
é bilinear simétrica e chama-se forma Hessiana de
. Se
é ponto crítico para f e
é uma curva diferenciável tal que
e
, verifique que
(a)
;
(b) se
é ponto de mínimo local para f , então p é ponto crítico de f e a forma (Hessf)§ é positiva, semi-definida;
(c) se
é ponto crítico para
e (Hessf)§ é positiva definida, então p é ponto de mínimo local estrito para f.
(a)
(b) se
(c) se
Passo 1
O enunciado considera uma função
de classe
e introduz a forma bilinear simétrica dada por
Queremos mostrar três coisas para um ponto
crítico (
) e para qualquer curva diferenciável
com
e
:
(a) .
(b) Se é mínimo local de
, então
e é semidefinida positiva.
(c) Se e é definida positiva, então
é mínimo local estrito de
.
(a) .
(b) Se
(c) Se
Passo 2
Calculemos a primeira e a segunda derivada de
.
Pela regra da cadeia,
Pela regra da cadeia,
Diferenciando de novo e usando que
é
,
Passo 3
Em
temos
e
. Se
é ponto crítico,
, então o segundo termo some em
e o primeiro termo é, por definição da forma Hessiana,
Isso prova (a).
Passo 4
Suponha agora que
é mínimo local de
.
Então para toda curva como acima,
tem mínimo em
. Logo
e
.
Como era arbitrária, deduzimos que
(de
) e
Então para toda curva
Como
ou seja, a forma Hessiana é semidefinida positiva. Isso encerra (b).
Passo 5
Finalmente, se
e é definida positiva, então para todo
temos .
Pelo desenvolvimento de Taylor de segunda ordem em ,
Pelo desenvolvimento de Taylor de segunda ordem em
Como , para
pequeno e não nulo temos
. Isso mostra que
é mínimo local estrito e prova (c).
Resposta
(a) .
(b) Se é mínimo local então
e é semidefinida positiva.
(c) Se e é definida positiva então
é mínimo local estrito.
(b) Se
(c) Se