Resolva:
3 x^2 y^4-y+(2 x^3 y^3+x) y^prime=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
3x^2y^4-y+l(2x^3y^3+xr),dydx=0
Reescrevendo em forma explícita,
dydx=y-3x^2y^42x^3y^3+x =yl(1-3x^2y^3r)xl(2x^2y^3+1r)
Para resolver, observamos que a combinação x^2y^3 aparece várias vezes. Definimos a substituição
u = x^2y^3

Passo 2

Calculamos a derivada de u em relação a x. Como
u = x^2y^3,
temos por regra do produto e cadeia
dudx =2x,y^3+x^2cdot3y^2dydx =2x,y^3+3x^2y^2dydx

Passo 3

Substituímos tfracdydx da equação original em dudx. Como
dydx =yl(1-3x^2y^3r)xl(2x^2y^3+1r),
temos
3x^2y^2dydx =3x^2y^2cdotyl(1-3ur)xl(2u+1r) =3x,y^3,1-3u2u+1
Então
dudx =2x,y^3+3x,y^3,1-3u2u+1 =x,y^3,2(2u+1)+3(1-3u)2u+1 =x,y^3,5(1-u)2u+1
Como x,y^3=u/x, fica
dudx =ux,5(1-u)2u+1

Passo 4

Separamos variáveis:
2u+1u(1-u),du =5,dxx
Fazendo a decomposição em frações parciais
2u+1u(1-u) =1u+31-u,
integramos:
integrall(1u+31-ur)du =5integraldxx Longrightarrow ln|u|-3ln|1-u| =5ln|x|+C
Isto é
ln!l|u(1-u)^3r| =5ln|x|+C Longrightarrow u(1-u)^3=K,x^5,
onde K=e^C é constante arbitrária.

Passo 5

Voltamos à variável original u=x^2y^3. A solução geral fica então dada implicitamente por
x^2y^3l(1 - x^2y^3r)^3 =K,x^5
Podemos simplificar dividindo por x^2:
y^3l(1 - x^2y^3r)^3 =K,x^3

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
x^2y^3l(1 - x^2y^3r)^3 =K,x^5,
com K constante arbitrária.

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