Resolva
y^prime prime-4 y^prime+4=2 x^2+4 x e^2 x+x sen(2 x)

Passo 1

Nesse exercício a gente tem uma EDO linear de 2ª ordem não homogênea com coeficientes constantes:
y'' - 4y' + 4y = 2x^2 + 4x e^2x + xsen(2x)
O que vamos usar é a decomposição da solução geral em parte homogênea (solução da equação associada) mais parte particular (cada termo do lado direito tratado via método dos coeficientes a determinar).

Passo 2

A parte homogênea vem da equação
y'' - 4y' + 4y = 0
O polinômio característico é r^2 - 4r + 4 = 0, que tem raiz dupla r = 2. Logo a solução homogênea é
yh(x) = (C1 + C2 x)e^2x

Passo 3

Para o termo polinomial 2x^2 vamos tentar
yp1(x) = a x^2 + b x + c
Calculando:
yp1' = 2ax + b,
yp1'' = 2a,
e substituindo em y'' - 4y' + 4y:
4a x^2 + (-8a + 4b)x + (2a - 4b + 4c) = 2x^2
Igualando coeficientes:
4a = 2 ⇒ a = 1/2,
−8a + 4b = 0 ⇒ b = 1,
2a − 4b + 4c = 0 ⇒ c = 3/4.
Então
yp1(x) = tfrac12 x^2 + x + tfrac34

Passo 4

Para o termo 4x e^2x há ressonância ( 2 é raiz dupla), então a gente define
yp2(x) = e^2xu(x),
com u(x) = P x^3 + Q x^2. Usando a regra geral se mostra que
yp2'' - 4yp2' + 4yp2 = e^2xu''(x)
E como deve dar 4x e^2x, impomos
u''(x) = 4x
Mas u''(x) = 6P x + 2Q, então
6P = 4 ⇒ P = 2/3,
2Q = 0 ⇒ Q = 0.
Fica
yp2(x) = tfrac23x^3 e^2x

Passo 5

Para o termo xsen(2x) usamos a forma
yp3(x) = (A x + B)cos2x + (C x + D)sin2x
Calculando derivadas e substituindo em y'' - 4y' + 4y e igualando ao lado certo, resolvemos o sistema:
-8C = 0 ⇒ C = 0,
8A = 1 ⇒ A = 1/8,
-4A - 8D = 0 ⇒ D = -1/16,
-4A + 8B = 0 ⇒ B = 1/16.
Logo
yp3(x) = l(tfracx8 + tfrac116r)cos2x - tfrac116sin2x

Passo 6

A solução geral é a soma de yh com cada parte particular:
y(x) = (C1 + C2 x)e^2x + l(tfrac12 x^2 + x + tfrac34r) + tfrac23x^3 e^2x + l(tfracx8 + tfrac116r)cos2x - tfrac116sin2x

Resposta

y(x) = (C1 + C2 x)e^2x + tfrac23x^3 e^2x + tfrac12 x^2 + x + tfrac34 + l(tfracx8 + tfrac116r)cos2x - tfrac116sin2x

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