Resolva
Passo 1
Nesse exercício a gente tem uma EDO linear de 2ª ordem não homogênea com coeficientes constantes:
O que vamos usar é a decomposição da solução geral em parte homogênea (solução da equação associada) mais parte particular (cada termo do lado direito tratado via método dos coeficientes a determinar).
Passo 2
A parte homogênea vem da equação
O polinômio característico é
, que tem raiz dupla
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para o termo polinomial
vamos tentar
Calculando:
e substituindo em
:
Igualando coeficientes:
4a = 2 ⇒ a = 1/2,
−8a + 4b = 0 ⇒ b = 1,
2a − 4b + 4c = 0 ⇒ c = 3/4.
Então
Passo 4
Para o termo
há ressonância (
é raiz dupla), então a gente define
com
. Usando a regra geral se mostra que
E como deve dar
, impomos
Mas
, então
6P = 4 ⇒ P = 2/3,
2Q = 0 ⇒ Q = 0.
Fica
Passo 5
Para o termo
usamos a forma
Calculando derivadas e substituindo em
e igualando ao lado certo, resolvemos o sistema:
-8C = 0 ⇒ C = 0,
8A = 1 ⇒ A = 1/8,
-4A - 8D = 0 ⇒ D = -1/16,
-4A + 8B = 0 ⇒ B = 1/16.
Logo
Passo 6
A solução geral é a soma de
com cada parte particular: