Resolva:
y^2+(x y+1) y^prime=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
y^2 + (x,y + 1),y' = 0
e pede sua solução geral. Vamos usar a teoria de equações diferenciais exatas e fator integrante para resolver.

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial, temos
(x,y + 1),dy + y^2,dx = 0
Assim identificamos
M(x,y) = y^2, N(x,y) = x,y + 1

Passo 3

Testamos exatidão:
partial Mpartial y = 2y, partial Npartial x = y,
logo partial M/partial y neq partial N/partial x, não é exata.

Passo 4

Buscamos um fator integrante mu que dependa só de y. Calculamos
partial N/partial x - partial M/partial yM = y - 2yy^2 = -1y
Logo
mu(y) = expl(integral -tfrac1y,dyr) = 1y

Passo 5

Multiplicando a equação original por mu(y)=1/y, obtemos
M^*(x,y),dx + N^*(x,y),dy = 0,
onde
M^*(x,y) = y^2y = y, N^*(x,y) = x,y + 1y = x + 1y
Agora
partial M^*partial y = 1 e partial N^*partial x = 1,
é exata.

Passo 6

Procuramos phi(x,y) tal que
partial phipartial x = M^* = y Longrightarrow phi(x,y) = x,y + h(y)
Impondo
partial phipartial y = x + h'(y) = N^* = x + 1y
vem h'(y)=1/y e, assim, h(y)=ln|y|. Portanto
phi(x,y) = x,y + ln|y|

Passo 7

A solução implícita geral é
phi(x,y) = C Longrightarrow x,y + lnlvert yrvert = C

Resposta

x,y + lnlvert yrvert = C

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