Resolva (e^2 y-y) cos x d yd x=e^y sen(2 x), y(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
(e^2 y - y) cos x d yd x = e^y sin(2 x), y(0) = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) que envolve funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular essas funções e aplicar técnicas de separação de variáveis ou encontrar um fator integrante adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar dydx:
dydx = e^y sin(2x)(e^2 y - y) cos x
Agora, a ideia é tentar separar as variáveis y e x para integrar ambos os lados. Mas antes, vamos ver se podemos simplificar a expressão no denominador.

Passo 3

Observe que e^2y - y pode ser reescrito como e^y cdot e^y - y. Embora isso não simplify diretamente a equação, nos dá uma pista de que talvez possamos dividir numerator e denominator por e^y:
dydx = e^y sin(2x)e^y(e^y) - y cos x = sin(2x)e^y - ye^y cos x
Ainda está complicado, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por (e^2 y - y) cos x para simplificar:
(e^2 y - y) cos x d yd x = e^y sin(2x)
Agora, vamos dividir ambos os lados por e^y:
(e^2 y - y) cos x d yd x cdot 1e^y = sin(2x)
Simplificando e^2y/e^y = e^y:
(e^y - ye^y) cos x dydx = sin(2x)
Ainda assim, a equação não está facilmente separável. Vamos tentar uma substituição.

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja u = e^y. Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = e^y dydx
Vamos substituir na equação original:
(e^2 y - y) cos x cdot dydx = e^y sin(2x)
Substituindo u = e^y e dydx = 1e^y dudx:
(u^2 - ln(u)) cos x cdot 1u dudx = u sin(2x)
Simplificando:
(u - ln(u)u) cos x dudx = u sin(2x)
Ainda está complicado, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 6

Vamos tentar reorganizar a equação para facilitar a integração. Dividimos ambos os lados por cos x:
(e^2 y - y) dydx = e^y sin(2x)cos x
Sabemos que sin(2x)cos x = 2 sin x utilizando a identidade trigonométrica sin(2x) = 2 sin x cos x. Então:
(e^2 y - y) dydx = 2 e^y sin x
Agora, a equação está na forma:
(e^2 y - y) dy = 2 e^y sin x dxdy
Mas isso não simplifica diretamente a separação. Vamos reconsiderar.

Passo 7

Parece que a melhor abordagem é tentar separar as variáveis y e x. Vamos voltar à equação rearranjada:
dydx = e^y sin(2x)(e^2y - y) cos x
Podemos reescrever sin(2x) como 2 sin x cos x, então:
dydx = 2 e^y sin x cos x(e^2y - y) cos x = 2 e^y sin xe^2y - y
Agora, podemos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e^2y - y2 e^y e por dx:
e^2y - y2 e^y dy = sin x , dx

Passo 8

Agora, temos as variáveis separadas:
e^2y - y2 e^y dy = sin x , dx
Vamos simplificar o lado esquerdo:
e^2y2 e^y - y2 e^y = e^y2 - y2 e^y
Então, a equação fica:
( e^y2 - y2 e^y ) dy = sin x , dx

Passo 9

Agora, vamos integrar ambos os lados:
integral ( e^y2 - y2 e^y ) dy = integral sin x , dx
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 10

Primeiro, a integral do lado esquerdo:
integral ( e^y2 - y2 e^y ) dy = 12 integral e^y dy - 12 integral ye^y dy
A primeira integral é direta:
12 integral e^y dy = 12 e^y
Para a segunda integral, usamos integração por partes. Seja u = y e dv = e^-y dy. Então, du = dy e v = -e^-y.

Passo 11

Aplicando a integração por partes:
integral y e^-y dy = -y e^-y + integral e^-y dy = -y e^-y - e^-y + C
Então,
- 12 integral ye^y dy = -12 (-y e^-y - e^-y) = 12 y e^-y + 12 e^-y

Passo 12

Agora, juntando as integrais:
12 e^y + 12 y e^-y + 12 e^-y = integral sin x , dx = -cos x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 13

Vamos reunir tudo:
e^y2 + y e^-y2 + e^-y2 = -cos x + C
Podemos multiplicar todos os termos por 2 para simplificar:
e^y + y e^-y + e^-y = -2 cos x + C'
Onde C' = 2C é uma nova constante de integração.

Passo 14

Aplicamos a condição inicial y(0) = 0 para encontrar a constante C':
Substituindo x = 0 e y = 0 na equação:
e^0 + 0 cdot e^0 + e^0 = -2 cos 0 + C'
1 + 0 + 1 = -2 cdot 1 + C'
2 = -2 + C'
C' = 4

Resposta

A solução da equação diferencial é:
e^y + y e^-y + e^-y = -2 cos x + 4

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