Resolva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) que envolve funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular essas funções e aplicar técnicas de separação de variáveis ou encontrar um fator integrante adequado.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar
:
Agora, a ideia é tentar separar as variáveis
e
para integrar ambos os lados. Mas antes, vamos ver se podemos simplificar a expressão no denominador.
Passo 3
Observe que
pode ser reescrito como
. Embora isso não simplify diretamente a equação, nos dá uma pista de que talvez possamos dividir numerator e denominator por
:
Ainda está complicado, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para simplificar:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
:
Simplificando
:
Ainda assim, a equação não está facilmente separável. Vamos tentar uma substituição.
Passo 5
Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Vamos substituir na equação original:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Ainda está complicado, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 6
Vamos tentar reorganizar a equação para facilitar a integração. Dividimos ambos os lados por
:
Sabemos que
utilizando a identidade trigonométrica
. Então:
Agora, a equação está na forma:
Mas isso não simplifica diretamente a separação. Vamos reconsiderar.
Passo 7
Parece que a melhor abordagem é tentar separar as variáveis
e
. Vamos voltar à equação rearranjada:
Podemos reescrever
como
, então:
Agora, podemos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por
e por
:
Passo 8
Agora, temos as variáveis separadas:
Vamos simplificar o lado esquerdo:
Então, a equação fica:
Passo 9
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 10
Primeiro, a integral do lado esquerdo:
A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, usamos integração por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Passo 11
Aplicando a integração por partes:
Então,
Passo 12
Agora, juntando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 13
Vamos reunir tudo:
Podemos multiplicar todos os termos por 2 para simplificar:
Onde
é uma nova constante de integração.
Passo 14
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Substituindo
e
na equação:
Resposta
A solução da equação diferencial é: