Determine as seguintes derivadas parciais
f(x, y, z)=x^3 y-3 x y^2+2 y z

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos encontrar as derivadas parciais de f(x,y,z)=x^3y-3xy^2+2yz. O conteúdo é derivadas parciais, e para cada uma vamos tratar as demais variáveis como constantes.

Passo 2

Para partial fpartial x, derivamos cada termo em relação a x mantendo y e z fixos. A derivada de x^3y em relação a x é 3x^2y, de -3xy^2 é -3y^2 e de 2yz é zero. Portanto, partial fpartial x = 3x^2y - 3y^2.

Passo 3

Para partial fpartial y, derivamos em relação a y com x e z constantes. A derivada de x^3y é x^3, de -3xy^2 é -6xy e de 2yz é 2z. Logo, partial fpartial y = x^3 - 6xy + 2z.

Passo 4

Para partial fpartial z, o único termo que depende de z é 2yz. Derivando em relação a z vemos que ddz(2yz)=2y, então partial fpartial z = 2y.

Resposta

As derivadas parciais são partial fpartial x=3x^2y-3y^2, partial fpartial y=x^3-6xy+2z e partial fpartial z=2y.

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