Resolva as EDOs de segunda ordem:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo:
O que se pede implicitamente é encontrar a solução geral
dessa equação, ou seja, a família de todas as soluções. Informações relevantes fornecidas:
- É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo é
.
Não há condições iniciais; então vamos determinar a solução geral.
Passo 2
Estratégia: para resolver uma EDO linear não-homogênea com coeficientes constantes usa-se a decomposição
onde
é a solução geral da equação homogênea associada e
é uma solução particular da equação completa. Vou calcular
primeiro.
Passo 3
Equação homogênea associada:
Procuramos soluções da forma
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica:
Essa é uma equação quadrática em
. Vou resolvê-la.
Passo 4
Resolver
. Podemos fatorar:
Portanto as raízes são
e
. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora precisamos de uma solução particular
da EDO completa. O termo à direita é
. Método de coeficientes a determinar (undetermined coefficients):
- Se o termo não-homogêneo for uma combinação de funções cuja forma é uma solução típica para equações de coeficientes constantes (polinômios, exponenciais, senos/cossenos e seus produtos), usa-se um ansatz com coeficientes desconhecidos.
- Importante: se a função escolhida para o ansatz pertence ao espaço de soluções da homogênea (ou seja, se a exponencial
tem sendo raiz da equação característica), deve-se multiplicar o ansatz por , onde é a multiplicidade da raiz correspondente, para obter um ansatz válido (isso evita ressonância).
No nosso caso o termo é
e a raiz
aparece na equação característica (é
), com multiplicidade 1. Portanto há ressonância de ordem 1 e devemos multiplicar por
.
Passo 6
Escolhemos o ansatz apropriado:
onde
é uma constante a determinar (é um escalar porque a parte exponencial não vem multiplicada por polinômio de grau maior). Agora calculamos
e
para substituir na equação e resolver para
.
Passo 7
Calcular derivadas de
. Escrever passo a passo:
Primeira derivada:
Usando a regra do produto,
Segunda derivada: derivar
. Novamente produto (aqui tratamos
e
):
Fatorando
:
Simplificando o interior:
Logo
Passo 8
Substituir
,
e
na EDO e resolver para
. A EDO exige:
Substituindo as expressões obtidas (todas com fator
):
Fatorando
:
Somando os termos dentro dos colchetes:
Então a expressão fica
Cancelar
(que nunca é zero) e resolver para
:
Passo 9
Portanto uma solução particular é
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.