Resolva as EDOs de segunda ordem:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}-2 y=6 e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\frac{dy}{dx}-2y=6e^{-2x}.
O que se pede implicitamente é encontrar a solução geral y(x) dessa equação, ou seja, a família de todas as soluções. Informações relevantes fornecidas:
  • É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo é 6e^{-2x}.
    Não há condições iniciais; então vamos determinar a solução geral.

Passo 2

Estratégia: para resolver uma EDO linear não-homogênea com coeficientes constantes usa-se a decomposição
y(x)=y_h(x)+y_p(x),
onde y_h é a solução geral da equação homogênea associada e y_p é uma solução particular da equação completa. Vou calcular y_h primeiro.

Passo 3

Equação homogênea associada:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\frac{dy}{dx}-2y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica:
r^{2}+r-2=0.
Essa é uma equação quadrática em r. Vou resolvê-la.

Passo 4

Resolver r^{2}+r-2=0. Podemos fatorar:
r^{2}+r-2=(r+2)(r-1).
Portanto as raízes são r_{1}=1 e r_{2}=-2. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora precisamos de uma solução particular y_p(x) da EDO completa. O termo à direita é 6e^{-2x}. Método de coeficientes a determinar (undetermined coefficients):
  • Se o termo não-homogêneo for uma combinação de funções cuja forma é uma solução típica para equações de coeficientes constantes (polinômios, exponenciais, senos/cossenos e seus produtos), usa-se um ansatz com coeficientes desconhecidos.
  • Importante: se a função escolhida para o ansatz pertence ao espaço de soluções da homogênea (ou seja, se a exponencial e^{\lambda x} tem \lambda sendo raiz da equação característica), deve-se multiplicar o ansatz por x^{m}, onde m é a multiplicidade da raiz correspondente, para obter um ansatz válido (isso evita ressonância).
No nosso caso o termo é 6e^{-2x} e a raiz -2 aparece na equação característica (é r_{2}=-2), com multiplicidade 1. Portanto há ressonância de ordem 1 e devemos multiplicar por x.

Passo 6

Escolhemos o ansatz apropriado:
y_p(x)=A x e^{-2x},
onde A é uma constante a determinar (é um escalar porque a parte exponencial não vem multiplicada por polinômio de grau maior). Agora calculamos y_p' e y_p'' para substituir na equação e resolver para A.

Passo 7

Calcular derivadas de y_p. Escrever passo a passo:
Primeira derivada:
y_p(x)=A x e^{-2x}.
Usando a regra do produto,
y_p'(x)=A\big(1\cdot e^{-2x}+x\cdot(-2)e^{-2x}\big)=A e^{-2x}(1-2x).
Segunda derivada: derivar y_p'(x)=A e^{-2x}(1-2x). Novamente produto (aqui tratamos e^{-2x} e 1-2x):
y_p''(x)=A\big((-2)e^{-2x}(1-2x)+e^{-2x}(-2)\big).
Fatorando A e^{-2x}:
y_p''(x)=A e^{-2x}\big(-2(1-2x)-2\big).
Simplificando o interior:
-2(1-2x)-2 = -2+4x-2 = 4x-4.
Logo
y_p''(x)=A e^{-2x}(4x-4)=4A e^{-2x}(x-1).

Passo 8

Substituir y_p, y_p' e y_p'' na EDO e resolver para A. A EDO exige:
y_p''+y_p'-2y_p=6e^{-2x}.
Substituindo as expressões obtidas (todas com fator A e^{-2x}):
\big[A e^{-2x}(4x-4)\big]+\big[A e^{-2x}(1-2x)\big]-2\big[A x e^{-2x}\big]=6e^{-2x}.
Fatorando A e^{-2x}:
A e^{-2x}\big[(4x-4)+(1-2x)-2x\big]=6e^{-2x}.
Somando os termos dentro dos colchetes:
(4x-4)+(1-2x)-2x = 4x-4+1-2x-2x = (4x-2x-2x)+(-3)=0x-3=-3.
Então a expressão fica
A e^{-2x}(-3)=6e^{-2x}.
Cancelar e^{-2x} (que nunca é zero) e resolver para A:
-3A=6 \quad\Rightarrow\quad A=-2.

Passo 9

Portanto uma solução particular é
y_p(x)=-2x e^{-2x}.
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-2x}-2x e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-2x}-2x e^{-2x}

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