Resolva as EDOs de segunda ordem:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes e pede achar a solução geral:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (forçamento) é
. - Objetivo: encontrar a solução geral
(ou seja, a soma da solução da homogênea e de uma particular).
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou solução complementar):
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substitui-se
(essa substituição transforma derivadas em potências de
) e obtemos a equação polinomial
Calculando as raízes desse polinômio:
com multiplicidade
(raiz dupla). Quando a equação característica tem uma raiz real
de multiplicidade
, a forma geral da solução complementar é
onde
e
são constantes arbitrárias. Intuição rápida: a segunda solução linearmente independente no caso de raiz dupla é
.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa. O membro direito é
. O método mais direto aqui é o método dos coeficientes não-determinados (chute de forma), que funciona bem quando o forçamento é exponencial, polinomial, seno/cosseno ou produto deles.
Regra importante (ressonância): se o termo forçante é
e
aparece na solução da homogênea com multiplicidade
, então o chute deve ser multiplicado por
. Aqui o forçamento é
, e
corresponde à raiz
com multiplicidade
. Portanto multiplicamos por
.
Como
é uma constante (
), o chute apropriado é
onde
é uma constante a determinar.
Passo 4
Vamos calcular
e
passo a passo para substituir na equação:
Defina
.
Derivando usando regra do produto (duas funções:
e
):
Derivando novamente:
seja , então
. Usando
,
seja
Agora substituímos
e
:
Logo
Agora substituímos
,
e
no membro esquerdo da EDO:
Fatorando
e somando os termos em
,
e constantes:
Ou seja,
Queremos que isso seja igual ao lado direito
. Portanto
Portanto a solução particular é
Passo 5
A solução geral da EDO é a soma da solução complementar
e da solução particular
:
Podemos fatorar
se quiser:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).