Resolva as EDOs de segunda ordem:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-6 \frac{d y}{d x}+9 y=4 e^{3 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes e pede achar a solução geral:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 6\frac{dy}{dx} + 9y = 4e^{3x}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (forçamento) é 4e^{3x}.
  • Objetivo: encontrar a solução geral y(x) (ou seja, a soma da solução da homogênea e de uma particular).

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou solução complementar):
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 6\frac{dy}{dx} + 9y = 0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substitui-se y=e^{rx} (essa substituição transforma derivadas em potências de r) e obtemos a equação polinomial
r^{2} - 6r + 9 = 0.
Calculando as raízes desse polinômio:
r^{2} - 6r + 9 = (r-3)^{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad r=3
com multiplicidade 2 (raiz dupla). Quando a equação característica tem uma raiz real r de multiplicidade 2, a forma geral da solução complementar é
y_{c}(x) = \big(C_{1} + C_{2}x\big)e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Intuição rápida: a segunda solução linearmente independente no caso de raiz dupla é x e^{rx}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p}(x) da equação completa. O membro direito é 4e^{3x}. O método mais direto aqui é o método dos coeficientes não-determinados (chute de forma), que funciona bem quando o forçamento é exponencial, polinomial, seno/cosseno ou produto deles.
Regra importante (ressonância): se o termo forçante é P(x)e^{\alpha x} e e^{\alpha x} aparece na solução da homogênea com multiplicidade m, então o chute deve ser multiplicado por x^{m}. Aqui o forçamento é 4e^{3x}, e e^{3x} corresponde à raiz r=3 com multiplicidade 2. Portanto multiplicamos por x^{2}.
Como P(x) é uma constante ( 4), o chute apropriado é
y_{p}(x) = A x^{2} e^{3x},
onde A é uma constante a determinar.

Passo 4

Vamos calcular y_{p}' e y_{p}'' passo a passo para substituir na equação:
Defina y_{p}(x) = A x^{2} e^{3x}.
Derivando usando regra do produto (duas funções: x^{2} e e^{3x}):
y_{p}' = A\big(2x e^{3x} + x^{2}\cdot 3 e^{3x}\big) = A e^{3x}\big(3x^{2} + 2x\big).
Derivando novamente:
seja u(x)=3x^{2}+2x, então u'(x)=6x+2. Usando y_{p}' = A e^{3x} u(x),
y_{p}'' = A\big(3 e^{3x} u(x) + e^{3x} u'(x)\big) = A e^{3x}\big(3u + u'\big).
Agora substituímos u e u':
3u + u' = 3(3x^{2}+2x) + (6x+2) = 9x^{2} +6x +6x +2 = 9x^{2} +12x +2.
Logo
y_{p}'' = A e^{3x}\big(9x^{2} +12x +2\big).
Agora substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' no membro esquerdo da EDO:
\begin{aligned} L[y_{p}] &\equiv y_{p}'' - 6y_{p}' + 9y_{p} \\\ &= A e^{3x}\big(9x^{2} +12x +2\big) - 6\cdot A e^{3x}\big(3x^{2} +2x\big) + 9\cdot A x^{2} e^{3x}. \end{aligned}
Fatorando A e^{3x} e somando os termos em x^{2}, x e constantes:
\begin{aligned} L[y_{p}] &= A e^{3x}\Big((9x^{2}+12x+2) -6(3x^{2}+2x) + 9x^{2}\Big) \\\ &= A e^{3x}\Big(9x^{2}+12x+2 -18x^{2}-12x +9x^{2}\Big) \\\ &= A e^{3x}\cdot 2. \end{aligned}
Ou seja,
L[y_{p}] = 2A e^{3x}.
Queremos que isso seja igual ao lado direito 4e^{3x}. Portanto
2A e^{3x} = 4 e^{3x} \quad\Rightarrow\quad 2A = 4 \quad\Rightarrow\quad A = 2.
Portanto a solução particular é
y_{p}(x) = 2 x^{2} e^{3x}.

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da solução complementar y_{c} e da solução particular y_{p}:
y(x) = y_{c}(x) + y_{p}(x) = \big(C_{1} + C_{2}x\big)e^{3x} + 2x^{2}e^{3x}.
Podemos fatorar e^{3x} se quiser:
y(x) = e^{3x}\big(C_{1} + C_{2}x + 2x^{2}\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).

Resposta

y(x)=e^{3x}\big(C_{1}+C_{2}x+2x^{2}\big)

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