Resolva
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede sua solução geral. O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos primeiro checar se a equação já é exata; caso não seja, buscamos um fator integrante que a torne exata.
Passo 2
Escrevemos
Calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator integrante
que dependa só de
. Usamos o teste
Como isso depende apenas de
, existe
com
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
, obtendo
Agora
e
logo a equação tornou-se exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando em
,
Para determinar
, usamos
portanto
e
constante.
Resposta
A solução implícita geral é
ou, de forma equivalente,