Resolva \left(2 x y^{2}+\frac{x}{y^{2}}\right) d x+4 x^{2} y d y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(2xy^{2}+\tfrac{x}{y^{2}}\bigr)\,dx \;+\;4x^{2}y\,dy=0,
e pede sua solução geral. O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos primeiro checar se a equação já é exata; caso não seja, buscamos um fator integrante que a torne exata.

Passo 2

Escrevemos
M(x,y)=2xy^{2}+\tfrac{x}{y^{2}}, \qquad N(x,y)=4x^{2}y.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =4xy-\;2x\,y^{-3}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =8xy.
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante \mu que dependa só de y. Usamos o teste
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} =\frac{8xy-\bigl(4xy-2x\,y^{-3}\bigr)}{2xy^{2}+x\,y^{-2}} =\frac{4xy+2x\,y^{-3}}{x\bigl(2y^{2}+y^{-2}\bigr)} =\frac{2}{y}.
Como isso depende apenas de y, existe \mu(y) com
\frac{d\ln\mu}{dy}=\frac{2}{y} \quad\Longrightarrow\quad \ln\mu=2\ln y \quad\Longrightarrow\quad \mu(y)=y^{2}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por y^{2}, obtendo
\bigl(2x\,y^{4}+x\bigr)\,dx \;+\; 4x^{2}y^{3}\,dy =0.
Agora
M^{*}(x,y)=2x\,y^{4}+x, \qquad N^{*}(x,y)=4x^{2}y^{3},
e
\frac{\partial M^{*}}{\partial y} =8x\,y^{3}, \quad \frac{\partial N^{*}}{\partial x} =8x\,y^{3},
logo a equação tornou-se exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial\psi}{\partial x} =2x\,y^{4}+x.
Integrando em x,
\psi(x,y) =\int\bigl(2x\,y^{4}+x\bigr)\,dx =x^{2}y^{4}+\frac{x^{2}}{2}+h(y).
Para determinar h(y), usamos
\frac{\partial\psi}{\partial y} =4x^{2}y^{3}+h'(y) \stackrel{!}{=}N^{*}(x,y)=4x^{2}y^{3},
portanto h'(y)=0 e h(y)= constante.

Resposta

A solução implícita geral é
x^{2}y^{4}+\frac{x^{2}}{2}=C,
ou, de forma equivalente,
x^{2}\bigl(2y^{4}+1\bigr)=\tilde C.

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