Encontre a familia de curvas ortogonais à familia dada por x^{2}+y^{2}=c y.

Passo 1

O enunciado nos dá a família de curvas
x^{2}+y^{2}=c\,y
e pede as curvas ortogonais a essa família. Isso envolve três ideias principais: (1) derivação implícita para encontrar \dfrac{dy}{dx} da família dada, (2) usar a condição de ortogonalidade—isto é, trocar a inclinação por seu negativo recíproco—e (3) resolver a equação diferencial resultante.

Passo 2

Derivando implicitamente em relação a x temos
2x+2y\,\frac{dy}{dx}=c\,\frac{dy}{dx}.
Como da equação original c=\frac{x^{2}+y^{2}}{y}, substituímos c para eliminar a constante:
2x+2y\,\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+y^{2}}{y}\,\frac{dy}{dx}.
Rearranjando em função de \dfrac{dy}{dx} resulta
2x = \Bigl(x^{2}+y^{2}-2y^{2}\Bigr)\frac{dy}{dx} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{2x\,y}{x^{2}-y^{2}}.

Passo 3

Para as trajetórias ortogonais, trocamos a inclinação por seu negativo recíproco:
\frac{dy}{dx}\Bigl|_{\perp} =-\frac{x^{2}-y^{2}}{2x\,y}.
Logo nossa equação diferencial a resolver é
\frac{dy}{dx}=-\frac{x^{2}-y^{2}}{2x\,y}.

Passo 4

Essa EDO é homogênea. Fazemos y=vx, logo \dfrac{dy}{dx}=v+x\,\dfrac{dv}{dx}. Substituindo:
v+x\frac{dv}{dx} =-\frac{x^{2}(1-v^{2})}{2x\,(v x)} =-\frac{1-v^{2}}{2v}.
Isolando dv/dx:
x\frac{dv}{dx} =-\frac{1-v^{2}}{2v}-v =-\frac{1+v^{2}}{2v} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2v}{1+v^{2}}\,dv=-\frac{dx}{x}.
Integrando ambos os lados:
\int\frac{2v}{1+v^{2}}\,dv =-\int\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl(1+v^{2}\bigr)=-\ln|x|+C.
Retornando a y/x:
1+\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{K}{x} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=K\,x,
onde K=e^{C} é constante.

Resposta

A família de curvas ortogonais é
x^{2}+y^{2}=K\,x,
com K constante.

Exercícios relacionados