Encontre a familia de curvas ortogonais à familia dada por x^{2}+y^{2}=c y.
Passo 1
O enunciado nos dá a família de curvas
x^{2}+y^{2}=c\,y
e pede as curvas ortogonais a essa família. Isso envolve três ideias principais: (1) derivação implícita para encontrar \dfrac{dy}{dx} da família dada, (2) usar a condição de ortogonalidade—isto é, trocar a inclinação por seu negativo recíproco—e (3) resolver a equação diferencial resultante.
Passo 2
Derivando implicitamente em relação a x temos
2x+2y\,\frac{dy}{dx}=c\,\frac{dy}{dx}.
Como da equação original c=\frac{x^{2}+y^{2}}{y}, substituímos c para eliminar a constante: