Use integração por partes e o item anterior para obter
integral0^infty sen^2 omegaomega^2 d omega=pi2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^infty sin^2 omegaomega^2 ,domega= ?
usando integração por partes e o resultado conhecido
integral0^infty sin xx ,dx=pi2
Vamos usar técnicas de integração e mudança de variável.

Passo 2

Escolhemos na integração por partes
u=sin^2omega, dv=domegaomega^2
Então
du=2sinomegacosomega,domega=sin(2omega),domega, v=-1omega,
e obtemos
integral0^infty sin^2omegaomega^2 domega=[-sin^2omegaomega]0^infty+integral0^infty sin(2omega)omega domega

Passo 3

O termo de contorno vale zero. De fato, para omegatoinfty temos sin^2omega/omegato0 e para omegato0 temos sin^2omegasimomega^2 de modo que sin^2omega/omegasimomegato0.

Passo 4

Fica então
$$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin{2}\omega}{\omega{2}} d\omega=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(2\omega)}{\omega} d\omega.
integral0^infty sin^2omegaomega^2 domega=integral0^infty sin(2omega)omega domega çá\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(2\omega)}{\omega} d\omega=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t/2}\frac{dt}{2}=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t},dt,
$$
que pelo item anterior vale t=2omega.

Resposta

\frac{\pi}{2}

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