1. Resolva y^prime prime+y=tan ^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + y = tan^2 x
O conteúdo envolvido é a resolução de equações lineares não-homogêneas: primeiro encontramos a solução geral da homogênea y''+y=0 e depois um particular para o termo tan^2 x.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
yh'' + yh = 0,
a equação característica é r^2+1=0, com raízes r=pm i. Logo
yh(x)=C1cos x + C2sin x

Passo 3

Para o termo não-homogêneo usamos a identidade
tan^2 x = sec^2 x - 1,
então escrevemos a equação como
y'' + y = sec^2 x - 1
Vamos achar um particular da forma yp = yp1 + yp2, onde yp1 resolve o “ -1” e yp2 resolve o “ sec^2 x”.

Passo 4

Particular para o termo -1. Buscamos yp1=A constante. Então yp1''=0 e
0 + A = -1 Longrightarrow A=-1
Logo
yp1(x) = -1

Passo 5

Particular para o termo sec^2 x por variação de parâmetros. As soluções da homogênea são y1=cos x e y2=sin x e o Wronskiano vale W=1. A fórmula dá
yp2 = -cos xintegral sin x,sec^2 x,dx +sin xintegral cos x,sec^2 x,dx
Calculando as integrais:
integral sin xcos^2 x,dx =integral -,dl(tfrac1cos xr) = sec x, integral sec x,dx = lnl|sec x+tan xr|
Substituindo,
yp2 = -cos xl(sec xr) +sin xlnl|sec x+tan xr| = -1 + sin x,lnl|sec x+tan xr|

Passo 6

Somando as partes, um particular geral é
yp = yp1 + yp2 = -1 +l(-1 + sin xln|sec x+tan x|r) = -2 + sin xlnl|sec x+tan xr|
Então a solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1cos x + C2sin x -2 + sin x,lnl|sec x+tan xr|

Resposta

boxedy(x)=C1cos x + C2sin x -2 + sin x,lnl|sec x+tan xr|

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