Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: $ y^{\prime}(x) = \sqrt{y(x)} - y(x) $ com a condição inicial $ y(0) = 9 $. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais, especificamente uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis:
Passo 3
Agora, vamos separar $ y $ e $ x $. Queremos colocar tudo que envolve $ y $ de um lado e $ dx $ do outro:
Passo 4
Para integrar o lado esquerdo, vamos simplificar a fração. Podemos fatorar $ \sqrt{y} $ no denominador:
Passo 5
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja $ u = \sqrt{y} $, então $ y = u^2 $ e $ dy = 2u , du $. Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é $ -2 \ln|1 - u| $ e do lado direito é $ x + C $, onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Substituímos $ u = \sqrt{y} $ de volta na equação:
Passo 8
Agora, resolvemos para $ y $. Primeiro, dividimos ambos os lados por -2:
Podemos simplificar $ -\frac{C}{2} $ como uma nova constante $ C’ $:
Passo 9
Exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Como $ e^{C’} $ é apenas uma constante, podemos chamar de $ K $:
Passo 10
Isolamos $ \sqrt{y} $:
Elevamos ao quadrado ambos os lados para resolver para $ y $:
Passo 11
Usamos a condição inicial $ y(0) = 9 $ para encontrar $ K $. Substituindo $ x = 0 $:
Resolvendo para $ K $:
Mas para que $ y $ seja real e positiva, escolhemos $ K = -2 $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: