Resolva:
y^prime(x)=raizy(x)-y(x) ; y(0)=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: $ y^{\prime}(x) = \sqrt{y(x)} - y(x) $ com a condição inicial $ y(0) = 9 $. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais, especificamente uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis:
dydx = raizy - y

Passo 3

Agora, vamos separar $ y $ e $ x $. Queremos colocar tudo que envolve $ y $ de um lado e $ dx $ do outro:
y

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo, vamos simplificar a fração. Podemos fatorar $ \sqrt{y} $ no denominador:
raizy

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja $ u = \sqrt{y} $, então $ y = u^2 $ e $ dy = 2u , du $. Substituindo na integral:
u = raizy

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados:
integral 21 - u , du = integral dx
A integral do lado esquerdo é $ -2 \ln|1 - u| $ e do lado direito é $ x + C $, onde $ C $ é a constante de integração.
-2 ln|1 - u|

Passo 7

Substituímos $ u = \sqrt{y} $ de volta na equação:
u = raizy

Passo 8

Agora, resolvemos para $ y $. Primeiro, dividimos ambos os lados por -2:
y
Podemos simplificar $ -\frac{C}{2} $ como uma nova constante $ C’ $:
ln|1 - raizy| = -x2 - C2

Passo 9

Exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
1 - raizy = e^-x2 + C' = e^C' e^-x2
Como $ e^{C’} $ é apenas uma constante, podemos chamar de $ K $:
e^C'

Passo 10

Isolamos $ \sqrt{y} $:
raizy
Elevamos ao quadrado ambos os lados para resolver para $ y $:
raizy = 1 - K e^-x2

Passo 11

Usamos a condição inicial $ y(0) = 9 $ para encontrar $ K $. Substituindo $ x = 0 $:
y(0) = 9
Resolvendo para $ K $:
K
Mas para que $ y $ seja real e positiva, escolhemos $ K = -2 $:
x = 0

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = (1 + 2 e^-x2)^2

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