Determinar a solução geral das seguintes EDOs aplicando o método de Equações do tipo Cauchy-Euler:
x^2 y^prime prime+x y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial de Euler–Cauchy:
x^2y'' + x y' + y = 0. Vamos usar o método de tentar uma solução do tipo y=x^m.

Passo 2

Para esse chute, calculamos as derivadas:
y = x^m, y' = m x^m-1 e y'' = m(m-1)x^m-2.

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original obtemos:

Fatorando x^2l(m(m-1)x^m-2) + xl(m x^m-1) + x^m = 0 (que é não nulo para x^m), vem:
x>0

Passo 4

O polinômio característico é
m^2 + 1 = 0,
cuja solução são raízes complexas
m = pm i

Passo 5

Para raízes complexas conjugadas alpha pm ibeta (aqui alpha=0 e beta=1), a solução geral complexa é
y = C1 x^i + C2 x^-i

Passo 6

Usando x^i=e^iln x=cos(ln x)+isin(ln x) e reunindo constantes reais, chegamos à forma real da solução geral:
y = Acos(ln x) + Bsin(ln x),
com A, B constantes arbitrárias.

Resposta

y = Acos(ln x) + Bsin(ln x), com A e B constantes.

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