Seja
f(x, y)=y^{2} x-y x^{2}+x y
(a) Mostre que f tem três pontos críticos
(b) Use o teste da segunda derivada para determinar a natureza dos pontos críticos.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=y^{2}x - y\,x^{2} + x\,y
e pede:
  • (a) encontrar todos os pontos críticos, isto é as soluções de
    \nabla f=(f_{x},f_{y})=(0,0).
  • (b) usar o teste da segunda derivada (determinante da Hessiana) para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais:
f_{x}=\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} - 2\,x\,y + y,
f_{y}=\frac{\partial f}{\partial y} = 2\,x\,y - x^{2} + x.
Igualamos a zero:
y^{2} - 2xy + y = 0 \quad\text{e}\quad 2xy - x^{2} + x = 0.
Fatore cada equação:
y\,(y - 2x + 1)=0, \quad x\,(2y - x + 1)=0.

Passo 3

Resolvemos os casos:
  1. Caso x=0. Então da primeira equação y(y+1)=0, vem y=0 ou y=-1.
    Pontos: (0,0), (0,-1).
  2. Caso x\neq0. Da segunda equação 2y - x +1=0 segue x=2y+1.
    Substituindo em y(y -2x +1)=0 temos ou
    • y=0 e então x=2\cdot0+1=1, dando (1,0).
    • ou y -2x +1=0 e x=2y+1. Daí y=2x-1,\quad x=2y+1 \;\Longrightarrow\; x=2(2x-1)+1=4x-1 \;\Longrightarrow\;3x=1 \;\Longrightarrow\;x=\tfrac13,e y=2\cdot\tfrac13-1=-\tfrac13.
      Ponto: \bigl(\tfrac13,-\tfrac13\bigr).
      Logo há quatro pontos críticos:
(0,0),\quad (0,-1),\quad (1,0),\quad \Bigl(\tfrac13,-\tfrac13\Bigr).

Passo 4

Compute a Hessiana de f:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}-2xy+y)=-2y, \quad f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy - x^{2}+x)=2x,
f_{xy}=f_{yx} =\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}-2xy+y)=2y-2x+1.
Em cada ponto crítico calculamos
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2}.

Passo 5

Avaliação e classificação:
  1. Em (0,0):
    f_{xx}=0, f_{yy}=0, f_{xy}=1
    \;\Longrightarrow\;D=0\cdot0-1^{2}=-1<0 → ponto de sela.
  2. Em (0,-1):
    f_{xx}=-2(-1)=2, f_{yy}=0, f_{xy}=-2-0+1=-1
    \;\Longrightarrow\;D=2\cdot0-(-1)^{2}=-1<0 → sela.
  3. Em (1,0):
    f_{xx}=0, f_{yy}=2, f_{xy}=0-2+1=-1
    \;\Longrightarrow\;D=0\cdot2-1=-1<0 → sela.
  4. Em \bigl(\tfrac13,-\tfrac13\bigr):
    f_{xx}= -2(-\tfrac13)=\tfrac23,
    f_{yy}=2\cdot\tfrac13=\tfrac23,
    f_{xy}=2(-\tfrac13)-2(\tfrac13)+1=-\tfrac13.
    \;\Longrightarrow\;D=\tfrac23\cdot\tfrac23-( -\tfrac13)^{2} =\tfrac{4}{9}-\tfrac{1}{9}=\tfrac{1}{3}>0
    e f_{xx}>0 → mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são
(0,0),\quad (0,-1),\quad (1,0),\quad \bigl(\tfrac13,-\tfrac13\bigr).
Destes, três são pontos de sela \bigl((0,0),(0,-1),(1,0)\bigr) e um é mínimo local \bigl(\tfrac13,-\tfrac13\bigr).

Exercícios relacionados