Seja
(a) Mostre que
tem três pontos críticos
(b) Use o teste da segunda derivada para determinar a natureza dos pontos críticos.
(b) Use o teste da segunda derivada para determinar a natureza dos pontos críticos.
Passo 1
O enunciado define
e pede:
- (a) encontrar todos os pontos críticos, isto é as soluções de
. - (b) usar o teste da segunda derivada (determinante da Hessiana) para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais:
Igualamos a zero:
Fatore cada equação:
Passo 3
Resolvemos os casos:
- Caso
. Então da primeira equação , vem ou .
Pontos:, . - Caso
. Da segunda equação segue .
Substituindo emtemos ou -
e então , dando . - ou
e . Daí e .
Ponto:.
Logo há quatro pontos críticos:
-
Passo 4
Compute a Hessiana de
:
Em cada ponto crítico calculamos
Passo 5
Avaliação e classificação:
-
Em
:
, ,
→ ponto de sela. -
Em
:
, ,
→ sela. -
Em
:
, ,
→ sela. -
Em
:
,
,
.
e→ mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos são
Destes, três são pontos de sela
e um é mínimo local
.