1. Resolva y^prime prime prime-3 y^prime prime-y^prime+3 y=0 com y(0)=1, y^prime(0)=-1, y^prime prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - 3y'' - y' + 3y = 0
sujeita às condições iniciais
y(0)=1, y'(0)=-1, y''(0)=3
O método consiste em montar o polinômio característico, achar suas raízes (que vão dar as soluções fundamentais) e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Montamos o polinômio característico associado a essa EDO:
r^3 - 3r^2 - r + 3 = 0
Como é cúbico, tentamos raízes inteiras. Para r=1 temos
1 - 3 - 1 + 3 = 0,
logo r=1 é raiz.

Passo 3

Fatorizando pelo termo (r-1) (via divisão sintética ou polinomial) obtemos
r^3 - 3r^2 - r + 3 = (r-1)(r^2 - 2r - 3)
Resolvendo r^2 - 2r - 3 = 0 pelo fórmula de Bhaskara dá
r = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm 42,
isto é, r=3 e r=-1. Como as três raízes 1,3,-1 são distintas, a solução geral é
y(x) = C1e^x + C2e^3x + C3e^-x

Passo 4

Agora calculamos y'(x) e y''(x):
y'(x) = C1e^x + 3C2e^3x - C3e^-x,
y''(x) = C1e^x + 9C2e^3x + C3e^-x
Avaliar em x=0 e usar as condições iniciais gera o sistema
C1 + C2 + C3 = 1, C1 + 3C2 - C3 = -1, C1 + 9C2 + C3 = 3

Passo 5

Resolvendo esse sistema: subtraindo a primeira equação da terceira vem
8C2 = 2 Longrightarrow C2 = tfrac14,
da primeira equação C1 + C2 + C3=1 e de outra combinação achamos
C1 = -tfrac12, C3 = tfrac54

Resposta

y(x) = -12e^x ;+;14e^3x;+;54e^-x

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