Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema de EDOs:
d xd t=-x+y
& d yd t=2 x & x(0)=0, y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) usando a Transformada de Laplace. Isso significa que a gente vai transformar essas equações no domínio complexo para facilitar a resolução. Vamos precisar lembrar como aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e usar as condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace na primeira equação do sistema:
dxdt = -x + y
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados:
Ldxdt = L-x + y
Sabemos que:
Ldxdt = sX(s) - x(0)
E como sX(s) = -X(s) + Y(s) , fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace na segunda equação:
dydt = 2x
Transformando ambos os lados:
Ldydt = L2x
Usando a fórmula da transformada da derivada:
sY(s) - y(0) = 2X(s)
Sabendo que sY(s) - 1 = 2X(s) :

Passo 4

Agora temos um sistema de equações algébricas em Y(s) = sX(s) + X(s) = (s + 1)X(s) e :
Vamos rearranjar a primeira equação para isolar :

Passo 5

Substituímos s(s + 1)X(s) - 1 = 2X(s) na segunda equação:
s(s + 1)X(s) - 2X(s) = 1
Agora, vamos organizar os termos para resolver X(s)[s(s + 1) - 2] = 1 :
X(s)(s^2 + s - 2) = 1
X(s) = 1s^2 + s - 2

Passo 6

Vamos fatorar o denominador de s^2 + s - 2 = (s + 2)(s - 1) :
X(s) = 1(s + 2)(s - 1)
Então, 1(s + 2)(s - 1) = As + 2 + Bs - 1 fica:
1 = A(s - 1) + B(s + 2)
Podemos usar frações parciais para simplificar:
1 = A(0) + B(3) Rightarrow B = 13
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(-3) + B(0) Rightarrow A = -13 :
X(s) = -131s + 2 + 131s - 1
Resolvendo para e :
Para :
Para :
Então:

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar x(t) = -13e^-2t + 13e^t :
x(t) = 13(e^t - e^-2t)

Passo 8

Agora que temos Y(s) = (s + 1)X(s) = (s + 1)( 1(s + 2)(s - 1) ) , podemos encontrar Y(s) = s + 1(s + 2)(s - 1) usando a relação que encontramos anteriormente:
s + 1(s + 2)(s - 1) = As + 2 + Bs - 1
Simplificando:
s + 1 = A(s - 1) + B(s + 2)
Podemos de novo usar frações parciais:
1 + 1 = A(0) + B(3) Rightarrow B = 23
Multiplicando ambos os lados por -2 + 1 = A(-3) + B(0) Rightarrow A = 13 :
Y(s) = 131s + 2 + 231s - 1
Resolvendo para e :
Para :
Para :
Então:

Passo 9

Aplicando a transformada inversa de Laplace para encontrar y(t) = 13e^-2t + 23e^t :

Resposta

As soluções do sistema são:
x(t) = 13( e^t - e^-2t )
y(t) = 13e^-2t + 23e^t

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