Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema de EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) usando a Transformada de Laplace. Isso significa que a gente vai transformar essas equações no domínio complexo para facilitar a resolução. Vamos precisar lembrar como aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e usar as condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace na primeira equação do sistema:
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados:
Sabemos que:
E como
, fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace na segunda equação:
Transformando ambos os lados:
Usando a fórmula da transformada da derivada:
Sabendo que
:
Passo 4
Agora temos um sistema de equações algébricas em
e
:
Vamos rearranjar a primeira equação para isolar
:
Passo 5
Substituímos
na segunda equação:
Agora, vamos organizar os termos para resolver
:
Passo 6
Vamos fatorar o denominador de
:
Então,
fica:
Podemos usar frações parciais para simplificar:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvendo para
e
:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 7
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar
:
Passo 8
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a relação que encontramos anteriormente:
Simplificando:
Podemos de novo usar frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvendo para
e
:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 9
Aplicando a transformada inversa de Laplace para encontrar
:
Resposta
As soluções do sistema são: