integral1^2 integral0^1(y x^2+y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral1^2integral0^1(y,x^2+y),dy,dx.
O conteúdo envolvido é a avaliação de integrais iteradas: primeiro integramos em y tratando x como constante, depois integramos em x.

Passo 2

Calculamos a integral interna em y:
integral0^1(y,x^2+y),dy = x^2integral0^1y,dy + integral0^1y,dy
Como
integral0^1y,dy = y^22|0^1 = 12,
temos
integral0^1(y,x^2+y),dy = x^2cdot12 + 12 = x^22 + 12

Passo 3

Agora integramos em x de 1 a 2 a expressão obtida:
integral1^2l(x^22 + 12r),dx = 12integral1^2x^2,dx + 12integral1^21,dx

Passo 4

Calculamos cada parte:
integral1^2x^2,dx = x^33|1^2 = 83-13 = 73,
integral1^21,dx = 2-1 = 1
Multiplicando pelos fatores:
12cdot73 + 12cdot1 = 76 + 12 = 76 + 36 = 106 = 53

Resposta

53

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