Determine a integral dupla.
integral duplaD yx^5+1 d A, D=(x, y) mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= x^2

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
integral duplaDyx^5+1,dA,
onde
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<= x^2
O conteúdo aqui é cálculo de integrais duplas em coordenadas cartesianas; vamos usar o Teorema de Fubini para iterar a integral e reduzir a um cálculo mais simples.

Passo 2

Escrevemos a integral por etapas em y e x:
integral duplaDyx^5+1,dA =integralx=0^1l(integraly=0^x^2yx^5+1,dyr)dx
Como x é constante na integral interna, podemos colocar tfrac1x^5+1 em evidência.

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
integraly=0^x^2y,dy =l[tfracy^22r]0^x^2 =(x^2)^22 =x^42
Logo a integral vira
integral0^11x^5+1,x^42,dx =12integral0^1x^4x^5+1,dx

Passo 4

Para integral0^1x^4x^5+1,dx, fazemos a substituição
u = x^5+1, du = 5x^4,dx;Rightarrow;x^4,dx = du5
Quando x=0, u=1; quando x=1, u=2. Assim
integral0^1x^4x^5+1,dx =integral1^215,duu =15integral1^2duu

Passo 5

A integral em u é imediata:
15integral1^2duu =15l[ln ur]1^2 =15ln 2
Incluindo o fator tfrac12 que estava fora, obtemos
12times15ln 2 =110ln 2

Resposta

110ln 2

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