Resolva:
y^prime-y=2 x e^2 x, y(0)=1

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial linear de 1ª ordem com condição inicial. A equação é y'-y=2x e^2x e y(0)=1. Vamos usar fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) pela fórmula mu(x)=e^integral -1,dx=e^-x.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x)=e^-x:
e^-xy' - e^-xy = 2x e^2x e^-x = 2x e^x
O lado esquerdo é a derivada de e^-xy. Integramos ambos os lados em relação a x:
ddx(e^-xy) = 2x e^x
e^-xy = integral 2x e^x,dx
Fazendo integração por partes com u=2x, dv=e^xdx, obtemos
integral 2x e^x,dx = 2x e^x - 2e^x + C = 2e^x(x-1) + C .

Passo 4

Voltando à expressão de y:
e^-xy = 2e^x(x-1) + C
Multiplicamos por e^x:
y = 2e^2x(x-1) + Ce^x .

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=1:
y(0) = 2e^0(0-1) + C e^0 = -2 + C = 1
Logo C=3.

Resposta

y = 2e^2x(x-1) + 3e^x

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