Use o Teorema da Convolução para calcular:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada inversa de Laplace
Informações dadas (explicitadas): a expressão no domínio de Laplace é
. O enunciado manda usar o Teorema da Convolução para obter a função no tempo. Não há outras informações externas necessárias.
Passo 2
Ideia principal (Teorema da Convolução): se
e
, então
Vamos escrever a fração dada como produto de duas transformadas conhecidas. Note que
Agora identificamos pares de Laplace conhecidos:
Portanto podemos tomar
e
, com inversas
e
.
Passo 3
Aplicando o Teorema da Convolução, a transformada inversa pedida é o convolutional:
Vou calcular essa integral passo a passo; é isso que você teria que fazer na prova.
Passo 4
Usamos a identidade trigonométrica de ângulo diferença:
Substituindo na integral,
Definimos
e calculamos
e
separadamente.
Passo 5
Cálculo de
(primitiva indefinida).
Usamos a fórmula padrão (ou integração por partes duas vezes). A fórmula geral
Usamos a fórmula padrão (ou integração por partes duas vezes). A fórmula geral
com
e
dá
Então a integral definida de
a
é
Como
e
, isto simplifica para
Passo 6
Cálculo de
.
A fórmula padrão
A fórmula padrão
com
,
dá
A integral definida de
a
é
ou seja
Passo 7
Agora voltamos à expressão da convolução:
Substituindo
e
:
Usando
, isso simplifica para