Use o Teorema da Convolução para calcular:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{(s+1)\left(s^{2}+1\right)}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{(s+1)\left(s^{2}+1\right)}\right\}.
Informações dadas (explicitadas): a expressão no domínio de Laplace é \dfrac{s}{(s+1)(s^{2}+1)}. O enunciado manda usar o Teorema da Convolução para obter a função no tempo. Não há outras informações externas necessárias.

Passo 2

Ideia principal (Teorema da Convolução): se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) e \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s), então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\,G(s)\} = (f*g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Vamos escrever a fração dada como produto de duas transformadas conhecidas. Note que
\frac{s}{(s+1)(s^{2}+1)} = \frac{1}{s+1}\cdot\frac{s}{s^{2}+1}.
Agora identificamos pares de Laplace conhecidos:
\mathcal{L}\{e^{-t}\} = \frac{1}{s+1}, \qquad \mathcal{L}\{\cos t\} = \frac{s}{s^{2}+1}.
Portanto podemos tomar F(s)=\dfrac{1}{s+1} e G(s)=\dfrac{s}{s^{2}+1}, com inversas f(t)=e^{-t} e g(t)=\cos t.

Passo 3

Aplicando o Teorema da Convolução, a transformada inversa pedida é o convolutional:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{(s+1)(s^{2}+1)}\right\} = \int_{0}^{t} e^{-\tau}\,\cos(t-\tau)\,d\tau.
Vou calcular essa integral passo a passo; é isso que você teria que fazer na prova.

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica de ângulo diferença:
\cos(t-\tau)=\cos t\cos\tau+\sin t\sin\tau.
Substituindo na integral,
\int_{0}^{t} e^{-\tau}\cos(t-\tau)\,d\tau = \cos t\int_{0}^{t} e^{-\tau}\cos\tau\,d\tau + \sin t\int_{0}^{t} e^{-\tau}\sin\tau\,d\tau.
Definimos
I_{1}(t)=\int_{0}^{t} e^{-\tau}\cos\tau\,d\tau, \qquad I_{2}(t)=\int_{0}^{t} e^{-\tau}\sin\tau\,d\tau,
e calculamos I_{1} e I_{2} separadamente.

Passo 5

Cálculo de I_{1}(t)=\int e^{-\tau}\cos\tau\,d\tau (primitiva indefinida).
Usamos a fórmula padrão (ou integração por partes duas vezes). A fórmula geral
\int e^{a\tau}\cos(b\tau)\,d\tau = \frac{e^{a\tau}\big(a\cos(b\tau)+b\sin(b\tau)\big)}{a^{2}+b^{2}} + C
com a=-1 e b=1
\int e^{-\tau}\cos\tau\,d\tau = \frac{e^{-\tau}\big(-\cos\tau+\sin\tau\big)}{2} + C.
Então a integral definida de 0 a t é
I_{1}(t)=\left[\frac{e^{-\tau}\big(-\cos\tau+\sin\tau\big)}{2}\right]_{0}^{t} = \frac{1}{2}\Big(-e^{-t}\cos t + e^{-t}\sin t -(-1)\Big).
Como \cos 0=1 e \sin 0=0, isto simplifica para
I_{1}(t)=\frac{1}{2}\Big(1 - e^{-t}\cos t + e^{-t}\sin t\Big).

Passo 6

Cálculo de I_{2}(t)=\int e^{-\tau}\sin\tau\,d\tau.
A fórmula padrão
\int e^{a\tau}\sin(b\tau)\,d\tau = \frac{e^{a\tau}\big(a\sin(b\tau)-b\cos(b\tau)\big)}{a^{2}+b^{2}} + C
com a=-1, b=1
\int e^{-\tau}\sin\tau\,d\tau = \frac{e^{-\tau}\big(-\sin\tau -\cos\tau\big)}{2} + C.
A integral definida de 0 a t é
I_{2}(t)=\left[-\frac{e^{-\tau}\big(\sin\tau+\cos\tau\big)}{2}\right]_{0}^{t} = -\frac{1}{2}\Big(e^{-t}(\sin t+\cos t) - 1\Big),
ou seja
I_{2}(t)=\frac{1}{2}\Big(1 - e^{-t}\sin t - e^{-t}\cos t\Big).

Passo 7

Agora voltamos à expressão da convolução:
\int_{0}^{t} e^{-\tau}\cos(t-\tau)\,d\tau = \cos t\,I_{1}(t) + \sin t\,I_{2}(t).
Substituindo I_{1} e I_{2}:
\begin{aligned} &\cos t\cdot\frac{1}{2}\big(1 - e^{-t}\cos t + e^{-t}\sin t\big) + \sin t\cdot\frac{1}{2}\big(1 - e^{-t}\sin t - e^{-t}\cos t\big) \\\ &= \frac{1}{2}\big(\cos t + \sin t\big) - \frac{e^{-t}}{2}\big(\cos^{2}t + \sin^{2}t\big). \end{aligned}
Usando \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, isso simplifica para
\frac{1}{2}\big(\cos t + \sin t - e^{-t}\big).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\big(\cos t + \sin t - e^{-t}\big)

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