Resolva :
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial $ x y (1 + x^{2}) y’ = 1 + y^{2} $. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e aplicar métodos de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar a derivada $ y’ $. Dividindo os dois lados da equação por $ x y (1 + x^{2}) $, fica:
Isso simplifica a equação para uma forma onde podemos tentar separar as variáveis $ y $ e $ x $.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Reescrevemos a equação como:
Multiplicando ambos os lados por $ x y (1 + x^{2}) $ e rearranjando, temos:
Agora, vamos reorganizar para separar $ y $ de $ x $:
Passo 4
Integramos ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo:
Agora, o lado direito:
Juntando os resultados:
Onde $ C = C_2 - C_1 $ é a constante de integração.
Passo 5
Para simplificar, podemos multiplicar tudo por 2 para eliminar os denominadores:
Onde $ C’ = 2C $. Agora, isolamos $ y^{2} $:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde $ C $ é a constante de integração.