Resolva : y=y(x)
x y(1+x^2) y^prime=1+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial $ x y (1 + x^{2}) y’ = 1 + y^{2} $. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e aplicar métodos de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar a derivada $ y’ $. Dividindo os dois lados da equação por $ x y (1 + x^{2}) $, fica:
y'
Isso simplifica a equação para uma forma onde podemos tentar separar as variáveis $ y $ e $ x $.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Reescrevemos a equação como:
y
Multiplicando ambos os lados por $ x y (1 + x^{2}) $ e rearranjando, temos:
x
Agora, vamos reorganizar para separar $ y $ de $ x $:
dydx = 1 + y^2x y (1 + x^2)

Passo 4

Integramos ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo:
integral 1 + y^2y dy = integral ( 1y + y ) dy = ln|y| + y^22 + C1
Agora, o lado direito:
integral x (1 + x^2) dx = integral x + x^3 dx = x^22 + x^44 + C2
Juntando os resultados:
ln|y| + y^22 = x^22 + x^44 + C
Onde $ C = C_2 - C_1 $ é a constante de integração.

Passo 5

Para simplificar, podemos multiplicar tudo por 2 para eliminar os denominadores:
2 ln|y| + y^2 = x^2 + x^42 + C'
Onde $ C’ = 2C $. Agora, isolamos $ y^{2} $:
C' = 2C
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y^2 = x^2 + x^42 + C - 2 ln|y|
onde $ C $ é a constante de integração.

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