( 2 pts ) Calcule a área da superfície estendida para cima do círculo x^2+y^2=1 no plano x y até a parábola cilíndrica z=1-x^2

Passo 1

A questão pede a área da superfície lateral definida pela circunferência x²+y²=1 no plano xy e limitada acima pela cilindro-parabólica z=1−x². O conteúdo é cálculo de área de superfície parametricamente, e vamos usar a parametrização de um cilindro circular e a fórmula de área A=integral dupla| rthetatimes rz|,dtheta,dz.

Passo 2

Parametrizamos a superfície por theta e z:
r(theta,z)=l(costheta,,sintheta,,zr)
com as faixas:
0<=theta<=2pi e 0<= z<=1-cos^2theta.

Passo 3

Calculamos os vetores parciais e o módulo do produto vetorial:
rtheta=(-sintheta,costheta,0), rz=(0,0,1)
| rthetatimes rz|=raiz(-sintheta)^2+(costheta)^2=1
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A=integral0^2piintegral0^1-cos^2theta1,dz,dtheta .

Passo 4

Integramos primeiro em z e depois em theta:
A=integral0^2pil[ zr]0^1-cos^2theta,dtheta =integral0^2pi(1-cos^2theta),dtheta =integral0^2pisin^2theta,dtheta =pi

Resposta

pi

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