Vamos resolver a equação diferencial $ x - y - (x + y) \frac{dy}{dx} = 0 $. Esse exercício está relacionado ao estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar aplicar métodos de resolução de equações diferenciais, como substituições que simplificam a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar :
Adicionando em ambos os lados:
Então, isolando :
Passo 3
Observamos que a equação é homogênea, ou seja, os termos de e têm o mesmo grau. Para resolver esse tipo de equação, uma técnica útil é a substituição $ v = \frac{y}{x} $. Vamos definir:
Derivando ambos os lados em relação a :
Passo 4
Substituindo e na equação original:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Vamos isolar $ \frac{dv}{dx} $:
Passo 6
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Para facilitar a integração, vamos simplificar o lado esquerdo. O denominador pode ser reescrito como:
Então, a equação fica:
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados:
Resolvendo a integral da direita:
Para a integral da esquerda, podemos usar frações parciais ou uma substituição adequada. Observando que o numerador é a derivada do denominador (modulo constante), podemos realizar a substituição:
Deixe , então . Podemos reescrever a integral como: