Resolva : y=y(x)
x-y-(x+y) y^prime=0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial $ x - y - (x + y) \frac{dy}{dx} = 0 $. Esse exercício está relacionado ao estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar aplicar métodos de resolução de equações diferenciais, como substituições que simplificam a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar dydx:
x - y - (x + y) dydx = 0
Adicionando (x + y) dydx em ambos os lados:
x - y = (x + y) dydx
Então, isolando dydx:
dydx = x - yx + y

Passo 3

Observamos que a equação é homogênea, ou seja, os termos de x e y têm o mesmo grau. Para resolver esse tipo de equação, uma técnica útil é a substituição $ v = \frac{y}{x} $. Vamos definir:
v = yx
Derivando ambos os lados em relação a y = v x :
x

Passo 4

Substituindo y = v x e dydx = v + x dvdx na equação original:
dydx = x - yx + y
v + x dvdx = x - v xx + v x
Simplificando o lado direito:
v + x dvdx = 1 - v1 + v

Passo 5

Vamos isolar $ \frac{dv}{dx} $:
dvdx
x dvdx = 1 - v1 + v - v
x dvdx = 1 - v - v(1 + v)1 + v
x dvdx = 1 - v - v - v^21 + v

Passo 6

Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
1 + v1 - 2v - v^2 dv = 1x dx
Para facilitar a integração, vamos simplificar o lado esquerdo. O denominador pode ser reescrito como:
1 - 2v - v^2 = -(v^2 + 2v - 1)
Então, a equação fica:
-1 + vv^2 + 2v - 1 dv = 1x dx

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados:
-integral 1 + vv^2 + 2v - 1 dv = integral 1x dx
Resolvendo a integral da direita:
integral 1x dx = ln|x| + C
Para a integral da esquerda, podemos usar frações parciais ou uma substituição adequada. Observando que o numerador 1 + v é a derivada do denominador v^2 + 2v - 1 (modulo constante), podemos realizar a substituição:
Deixe u = v^2 + 2v - 1, então du = (2v + 2) dv = 2(v + 1) dv. Podemos reescrever a integral como:
-integral 1 + vv^2 + 2v - 1 dv = -12 integral 2(v + 1)u dv = -12 ln|u| + C
Substituindo de volta u = v^2 + 2v - 1:
-12 ln|v^2 + 2v - 1| = ln|x| + C

Passo 8

Agora, vamos substituir v = yx de volta na equação:
-12 ln|(yx)^2 + 2(yx) - 1| = ln|x| + C
Simplificando dentro do logaritmo:
-12 ln|y^2 + 2xy - x^2x^2| = ln|x| + C
Multiplicando ambos os lados por -2:
ln|y^2 + 2xy - x^2x^2| = -2ln|x| + C'
Onde C' = -2C é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
ln|y^2 + 2xy - x^2| = -2ln|x| + C
Ou, de forma simplificada:
y^2 + 2xy - x^2 = K x^-2
Onde K = e^C é uma constante arbitrária.

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