Resolva : y=y(x)
x^2 y^prime+x y+y^2=3 x^2, yp=x

Passo 1

O problema é uma equação diferencial de Riccati de primeira ordem, dado por x^2y'+xy+y^2=3x^2, e já temos uma solução particular yp=x. Para resolver a Riccati, vamos usar a substituição y=yp+tfrac1u(x).

Passo 2

Substituímos y=x+tfrac1u e calculamos a derivada:
y'=1-u'u^2
Agora inserimos y e y' na equação original.

Passo 3

Após substituir, obtemos:
x^2l(1-u'u^2r)+xl(x+1ur)+l(x+1ur)^2=3x^2
Expandindo e simplificando, os termos 3x^2 se cancelam, restando
3xu+1u^2-,x^2u'u^2=0

Passo 4

Multiplicando por u^2 para limpar denominadores, temos:
x^2u'-3xu-1=0
ou seja
u'-3xu=1x^2
Isso é uma equação linear em u.

Passo 5

Para resolver, calculamos o fator integrante:
mu(x)=e^integral-3/x,dx=x^-3
Multiplicando a equação linear por x^-3
ddxl(u,x^-3r)=x^-5
Integrando,
u,x^-3=-14x^4+CRightarrow u=-14x+C x^3

Passo 6

Voltando a y=x+tfrac1u, temos
u=-14x+Cx^3=-1+4Cx^44x,
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1u=4x4Cx^4-1
Assim a solução geral fica
y(x)=x+4x4C x^4-1

Resposta

A solução geral é
y(x)=x+4x4C x^4-1,
com C constante arbitrária.

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