Resolva :
Passo 1
O problema é uma equação diferencial de Riccati de primeira ordem, dado por
, e já temos uma solução particular
. Para resolver a Riccati, vamos usar a substituição
.
Passo 2
Substituímos
e calculamos a derivada:
Agora inserimos
e
na equação original.
Passo 3
Após substituir, obtemos:
Expandindo e simplificando, os termos
se cancelam, restando
Passo 4
Multiplicando por
para limpar denominadores, temos:
ou seja
Isso é uma equação linear em
.
Passo 5
Para resolver, calculamos o fator integrante:
Multiplicando a equação linear por
dá
Integrando,
Passo 6
Voltando a
, temos
logo
Assim a solução geral fica
Resposta
A solução geral é
com
constante arbitrária.