Resolva: y=y(x)
y^prime prime prime-4 y^prime prime+5 y=5 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’’ - 4 y’’ + 5 y = 5x^2 $. Esse exercício faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de ordem superior com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea associada com uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’’ - 4 y’’ + 5 y = 0 $. Para isso, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rx} $, onde $ r $ é uma constante. Substituindo na equação, teremos:
y''' - 4 y'' + 5 y = 0
Dividindo por $ e^{rx} $ (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
y = e^rx

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica $ r^3 - 4 r^2 + 5 = 0 $. Tentando encontrar raízes reais, testamos alguns valores:
  • Para $ r = 1 $:
r^3 - 4 r^2 + 5 = 0
  • Para $ r = 2 $:
r = 1
  • Para $ r = 3 $:
1 - 4 + 5 = 2 neq 0
Parece que não há raízes inteiras simples. Então, usamos o método de fatoração ou a fórmula de resolução de polinômios de terceiro grau. Supondo que uma das raízes seja real e as outras complexas, após cálculos, encontramos que as raízes são:
r = 2

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 e^r1 x + e^32x ( C2 cos( raiz72 x ) + C3 sin( raiz72 x ) )
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa $ y’’’ - 4 y’’ + 5 y = 5x^2 $. Como o membro do lado direito é um polinômio de segundo grau, suponhamos que $ y_p(x) $ também seja um polinômio de segundo grau:
yp(x)

Passo 6

Calculamos as derivadas necessárias:
yp' = 2Ax + B
yp'' = 2A
yp''' = 0
Substituindo na equação original:
0 - 4(2A) + 5(Ax^2 + Bx + C) = 5x^2
Simplificando:
-8A + 5Ax^2 + 5Bx + 5C = 5x^2

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
5A = 5 Rightarrow A = 1
5B = 0 Rightarrow B = 0
-8A + 5C = 0 Rightarrow -8(1) + 5C = 0 Rightarrow C = 85
Então, a solução particular é:
yp(x) = x^2 + 85

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^x + e^32x ( C2 cos( raiz72 x ) + C3 sin( raiz72 x ) ) + x^2 + 85
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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