Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’’ - 4 y’’ + 5 y = 5x^2 $. Esse exercício faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de ordem superior com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea associada com uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’’ - 4 y’’ + 5 y = 0 $. Para isso, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rx} $, onde $ r $ é uma constante. Substituindo na equação, teremos:
Dividindo por $ e^{rx} $ (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica $ r^3 - 4 r^2 + 5 = 0 $. Tentando encontrar raízes reais, testamos alguns valores:
- Para $ r = 1 $:
- Para $ r = 2 $:
- Para $ r = 3 $:
Parece que não há raízes inteiras simples. Então, usamos o método de fatoração ou a fórmula de resolução de polinômios de terceiro grau. Supondo que uma das raízes seja real e as outras complexas, após cálculos, encontramos que as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa $ y’’’ - 4 y’’ + 5 y = 5x^2 $. Como o membro do lado direito é um polinômio de segundo grau, suponhamos que $ y_p(x) $ também seja um polinômio de segundo grau:
Passo 6
Calculamos as derivadas necessárias:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.