Resolva : y=y(x)
x y^prime+y-y^2 cdot ln (x)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x y′ + y − y² ln(x) = 0
O conteúdo aqui é equação de Bernoulli. Vamos reconhecer a forma padrão e usar a substituição apropriada.

Passo 2

Dividindo toda a equação por x, obtemos a forma padrão de Bernoulli:
y' + 1xy = ln(x)x,y^2
Aqui identificamos P(x)=1/x, Q(x)=ln(x)/x e o expoente n=2.

Passo 3

Na equação de Bernoulli fazemos a mudança de variável u = y^{1−n} = y^{−1}. Calculamos
du/dx = −y’/y²
e substituímos y’ em função de du/dx, chegando à equação linear em u:
dudx - 1x,u = -ln(x)x

Passo 4

Para essa equação linear identificamos o fator integrante
$$\mu(x) = \exp\Bigl(-\int\frac{1}{x}dx\Bigr) = x^{-1}.
mu(x) = expl(-integral1xdxr) = x^-1 \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{u}{x}\Bigr) = -\frac{\ln(x)}{x^2}.$$

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo vem u/x. Do lado direito calculamos
integral -ln(x)x^2dx
usando integração por partes, o que resulta em
ln(x) + 1x + C

Passo 6

Multiplicando por x e lembrando u=1/y, temos
$$\frac{1}{y} = \ln(x) + 1 + C,x.
$$
Invertendo, obtemos a solução geral y(x).

Resposta

y(x) = 1ln(x) + 1 + C,x

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