Resolva :
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x y′ + y − y² ln(x) = 0
O conteúdo aqui é equação de Bernoulli. Vamos reconhecer a forma padrão e usar a substituição apropriada.
x y′ + y − y² ln(x) = 0
O conteúdo aqui é equação de Bernoulli. Vamos reconhecer a forma padrão e usar a substituição apropriada.
Passo 2
Dividindo toda a equação por x, obtemos a forma padrão de Bernoulli:
Aqui identificamos P(x)=1/x, Q(x)=ln(x)/x e o expoente n=2.
Passo 3
Na equação de Bernoulli fazemos a mudança de variável u = y^{1−n} = y^{−1}. Calculamos
du/dx = −y’/y²
e substituímos y’ em função de du/dx, chegando à equação linear em u:
du/dx = −y’/y²
e substituímos y’ em função de du/dx, chegando à equação linear em u:
Passo 4
Para essa equação linear identificamos o fator integrante
$$\mu(x) = \exp\Bigl(-\int\frac{1}{x}dx\Bigr) = x^{-1}.
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo vem u/x. Do lado direito calculamos
usando integração por partes, o que resulta em
Passo 6
Multiplicando por x e lembrando u=1/y, temos
$$\frac{1}{y} = \ln(x) + 1 + C,x.
$$
Invertendo, obtemos a solução geral y(x).
Invertendo, obtemos a solução geral y(x).