Resolva : y=y(x)
x y^prime-2 y=3 x^2 y^2

Passo 1

Vamos começar observando a EDO dada: x,y' - 2y = 3x^2y^2. Nosso objetivo é encontrar y(x). Para facilitar, dividimos tudo por x (supondo xneq0) e obtemos a forma
y' - 2x,y = 3x,y^2

Passo 2

Essa é uma equação de Bernoulli do tipo y' + P(x)y = Q(x)y^n com P(x) = -2/x, Q(x)=3x e n=2. A substituição padrão é
u = y^1-n = y^-1

Passo 3

Derivando em relação a x vem
dudx = -y^-2dydx

Passo 4

Agora substituímos y e y' na equação original (já dividida por x). Após multiplicar por -y^-2 e reorganizar, chegamos a
xdudx + 2u = -3x^2

Passo 5

Esta é uma equação linear em u(x). O fator integrante é
mu(x)=e^integral 2xdx=x^2

Passo 6

Multiplicando tudo por x^2 obtém-se
ddxl(x^2ur) = -3x^3

Passo 7

Integramos em ambos os lados:
x^2u = -3x^44 + C,

Passo 8

onde C é a constante de integração. Logo
u = Cx^2 - 3x^24

Passo 9

Voltando para y pela relação y = 1/u, temos:
y = 1Cx^2 - 3x^24 = 4x^24C - 3x^4

Resposta

y = 4x^24C - 3x^4

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