Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
(24.1) z=x+yx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função $ z = \frac{x + y}{x^2 + y^2} $. A gente vai usar conceitos de cálculo multivariável, mais especificamente, derivadas parciais. Para isso, precisamos saber como diferenciar funções que têm mais de uma variável, usando a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante.
A função é $ z = \frac{x + y}{x^2 + y^2} $. Usaremos a regra do quociente, que diz que se $ z = \frac{u}{v} $, então:
z

Passo 3

Identificamos $ u = x + y $ e $ v = x^2 + y^2 $.
Calculando as derivadas:
u = x + y áé
v = x^2 + y^2

Passo 4

Aplicando na fórmula da regra do quociente:
partial zpartial x = (x^2 + y^2) cdot 1 - (x + y) cdot 2x(x^2 + y^2)^2

Passo 5

Simplificando o numerador:
(x^2 + y^2) - 2x(x + y) = x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy = -x^2 - 2xy + y^2
Então,
partial zpartial x = -x^2 - 2xy + y^2(x^2 + y^2)^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Novamente, usamos a regra do quociente.

Passo 7

Identificamos $ u = x + y $ e $ v = x^2 + y^2 $.
Calculando as derivadas:
u = x + y
v = x^2 + y^2

Passo 8

Aplicando na fórmula da regra do quociente:
partial zpartial y = (x^2 + y^2) cdot 1 - (x + y) cdot 2y(x^2 + y^2)^2

Passo 9

Simplificando o numerador:
(x^2 + y^2) - 2y(x + y) = x^2 + y^2 - 2xy - 2y^2 = x^2 - 2xy - y^2
Então,
partial zpartial y = x^2 - 2xy - y^2(x^2 + y^2)^2

Resposta

As derivadas parciais da função $ z = \frac{x + y}{x^2 + y^2} $ são:
z = x + yx^2 + y^2
e
partial zpartial x = -x^2 - 2xy + y^2(x^2 + y^2)^2

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