Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
(24.1)
.
(24.1)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função $ z = \frac{x + y}{x^2 + y^2} $. A gente vai usar conceitos de cálculo multivariável, mais especificamente, derivadas parciais. Para isso, precisamos saber como diferenciar funções que têm mais de uma variável, usando a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante.
A função é $ z = \frac{x + y}{x^2 + y^2} $. Usaremos a regra do quociente, que diz que se $ z = \frac{u}{v} $, então:
Passo 3
Identificamos $ u = x + y $ e $ v = x^2 + y^2 $.
Calculando as derivadas:
Passo 4
Aplicando na fórmula da regra do quociente:
Passo 5
Simplificando o numerador:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Novamente, usamos a regra do quociente.
Passo 7
Identificamos $ u = x + y $ e $ v = x^2 + y^2 $.
Calculando as derivadas:
Passo 8
Aplicando na fórmula da regra do quociente:
Passo 9
Simplificando o numerador:
Então,
Resposta
As derivadas parciais da função $ z = \frac{x + y}{x^2 + y^2} $ são:
e