Resolvam as Equações não homogêneas, utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados.
y^prime prime+omega0^2 y=cos omega0 x

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO
y'' + omega0^2y = cos(omega0x)
usando o método dos coeficientes indeterminados. É uma equação linear de segunda ordem com termo não homogêneo ressonante, pois cos(omega0x) também é solução da homogênea. Vamos achar a solução geral como soma da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea
yh'' + omega0^2yh = 0
A equação característica é r^2 + omega0^2=0, com raízes r=pm iomega0. Logo
yh(x) = Acos(omega0x) + Bsin(omega0x)

Passo 3

Para a solução particular yp, como há ressonância com cos(omega0x), multiplicamos a forma padrão por x. Tentamos
yp(x) = xl(Ccos(omega0x) + Dsin(omega0x)r)
Calculando yp'' + omega0^2yp e coletando termos, chega-se a
yp'' + omega0^2yp = -2C,omega0sin(omega0x) + 2D,omega0cos(omega0x)
Como isso deve igualar cos(omega0x), igualamos coeficientes:
2D,omega0 = 1, -2C,omega0 = 0
Logo C=0 e D = tfrac12omega0. Assim
yp(x) = x2omega0sin(omega0x)

Passo 4

A solução geral da EDO é
y(x) = yh(x) + yp(x) = Acos(omega0x) + Bsin(omega0x) + x2omega0sin(omega0x)

Resposta

y(x) = Acos(omega0x) + Bsin(omega0x) + x2omega0sin(omega0x)

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