Exercício 4. (01,00 ponto cada item) Obter cada uma das seguintes antiderivadas:
(d) integral t^2 raiz[3]5 t^3-1 d t;

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada
integral t^2,raiz[3]5t^3-1,dt
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, pois dentro da raiz cúbica aparece a expressão 5t^3-1 cuja derivada é proporcional a t^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 5t^3-1
Logo, diferenciando,
du = 15t^2,dt Longrightarrow t^2,dt = 115,du

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral t^2,(5t^3-1)^1/3,dt = integral u^1/3,115,du = 115,integral u^1/3,du

Passo 4

Usamos a regra de potência para integrar integral u^1/3du. Como
integral u^1/3,du = u^4/3tfrac43 = 34,u^4/3,
temos
115,integral u^1/3,du = 115,cdot34,u^4/3 = 120,u^4/3

Passo 5

Voltando à variável t, substituímos u=5t^3-1. A antiderivada final é
120,l(5t^3-1r)^4/3 + C

Resposta

integral t^2,raiz[3]5t^3-1,dt = 120,l(5t^3-1r)^4/3 + C

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