Resolvam as questōes a seguir, apresentando todos os argumentos.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=2 x^2+3 xx-1 no ponto de abscissa x=12.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=dfrac2x^2+3xx-1 no ponto de abscissa x=tfrac12. O conteúdo principal envolve derivada de função racional (regra do quociente) e a fórmula da reta tangente y-y0=m(x-x0).

Passo 2

Vamos calcular primeiro o valor de f(tfrac12). Substituindo x=tfrac12 em f(x):
fl(tfrac12r)=dfrac2,(tfrac12)^2+3,(tfrac12)tfrac12-1=dfrac2cdottfrac14+tfrac32-tfrac12=dfractfrac12+tfrac32-tfrac12=dfrac2-tfrac12=-4

Passo 3

Agora precisamos de f'(x). Para uma função racional f(x)=dfracu(x)v(x), vale a regra do quociente
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2

Passo 4

Aqui u(x)=2x^2+3x e v(x)=x-1. Logo u'(x)=4x+3 e v'(x)=1. Substituindo na regra do quociente:
f'(x)=(4x+3)(x-1)-(2x^2+3x)cdot1(x-1)^2=4x^2+3x-4x-3-2x^2-3x(x-1)^2=2x^2-4x-3(x-1)^2

Passo 5

Agora avaliaremos f'(tfrac12). Substituindo x=tfrac12 em f'(x):
f'l(tfrac12r)=2,l(tfrac12r)^2-4,(tfrac12)-3(tfrac12-1)^2=2cdottfrac14-2-3( -tfrac12 )^2=tfrac12-5tfrac14=-tfrac92tfrac14=-18

Passo 6

Agora temos o ponto l(x0,y0r)=(tfrac12,-4) e a inclinação m=-18. A equação da reta tangente é
y-y0=m(x-x0)

Passo 7

Substituindo y0=-4, m=-18 e x0=tfrac12:
y+4=-18l(x-tfrac12r)implies y+4=-18x+9implies y=-18x+5

Resposta

y=-18x+5

Exercícios relacionados