1- Seja R[x] o conjunto de polinômios na variável x com coeficientes em R. Lembre que uma função T: R[x] R[x] é uma transformação linear se ela leva combinações lineares em combinações lineares, ou seja, satisfaz
T(ap(x)+bq(x))=aT(p(x))+bT(q(x)) para quaisquer polinômios p(x), q(x) in R[x]
p(x), q(x) in R[x] e escalares a, b in R. Dentre as seguintes funções T: R[x] R[x], marque TODAS que são transformações lineares. Uma alternativa errada anula uma correta.
T(p(x))=integral 1-110 p(x) d x
T(p(x))=integral 51 p(x) d x
T(p(x))=integral 51(d p / d x) d x
T(p(x))=3+(d / d x) integral 51 p(x) d x
T(p(x))=10+7 integral 51 p(x) d x
T(p(x))=x p(x)-17 integral 51 p(x) d x
T(p(x))=integral 51 x cdot p(x) d x
T(p(x))=(d p / d x)(x)+integral 51 p(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais das aplicações
Tcolon R[x]toR[x]
são transformações lineares, ou seja, satisfazem
Tl(a,p(x)+b,q(x)r)=a,Tl(p(x)r)+b,Tl(q(x)r)
para quaisquer p,qinR[x] e escalares a,binR.

Passo 2

Lembrando que as seguintes operações são lineares em R[x]:
  1. multiplicação por constante;
  2. soma de polinômios;
  3. diferenciação pmapsto p';
  4. integração indefinida (definida com constante de integração zero), pmapsto integral p(x),dx;
  5. multiplicação pelo polinômio x.
    Qualquer combinação linear dessas operações sem adição de termo independente de p preserva a linearidade.

Passo 3

Identificamos as aplicações que adicionam um termo constante (ou seja, um polinômio que independe de p) e quebram a linearidade. São elas:
T(p)=integral(1-110,p(x)),dx, T(p)=3+ddx!l(integral 51,p(x),dxr), T(p)=10+7!integral 51,p(x),dx
Portanto, essas três não são lineares.

Passo 4

As demais são compostas apenas por diferenciação, integração (sem constante arbitrária), multiplicação por constantes e por x, ou soma dessas partes. Logo, todas preservam combinações lineares e são transformações lineares.

Resposta

As transformações lineares são:
  • T(p(x))=integral 51,p(x),dx
  • T(p(x))=integral 51,dpdx,dx
  • T(p(x))=x,p(x)-17integral 51,p(x),dx
  • T(p(x))=integral 51,x,p(x),dx
  • T(p(x))=dpdx(x)+integral 51,p(x),dx

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