1- Seja R[x] o conjunto de polinômios na variável x com coeficientes em R. Lembre que uma função
é uma transformação linear se ela leva combinações lineares em combinações lineares, ou seja, satisfaz
para quaisquer polinômios
e escalares
. Dentre as seguintes funções
, marque TODAS que são transformações lineares. Uma alternativa errada anula uma correta.
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais das aplicações
são transformações lineares, ou seja, satisfazem
para quaisquer
e escalares
.
Passo 2
Lembrando que as seguintes operações são lineares em
:
- multiplicação por constante;
- soma de polinômios;
- diferenciação
; - integração indefinida (definida com constante de integração zero),
; - multiplicação pelo polinômio
.
Qualquer combinação linear dessas operações sem adição de termo independente depreserva a linearidade.
Passo 3
Identificamos as aplicações que adicionam um termo constante (ou seja, um polinômio que independe de
) e quebram a linearidade. São elas:
Portanto, essas três não são lineares.
Passo 4
As demais são compostas apenas por diferenciação, integração (sem constante arbitrária), multiplicação por constantes e por
, ou soma dessas partes. Logo, todas preservam combinações lineares e são transformações lineares.
Resposta
As transformações lineares são: