Resolve:
\frac{d x}{d t}=x+\operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d x}{d t}=x+\operatorname{sen} t
ou seja, encontrar a solução geral x(t) que satisfaça essa equação.
Informações dadas: a equação relaciona a derivada \frac{d x}{d t} com x e com \operatorname{sen} t.

Passo 2

Vamos escrever a equação numa forma padrão para equações lineares de 1ª ordem. Subtraindo x dos dois lados temos
\frac{d x}{d t}-x=\operatorname{sen} t.
Aqui estamos no formato
\frac{d x}{d t}+p(t)\,x=g(t),
com p(t)=-1 e g(t)=\operatorname{sen} t. A ideia é usar um fator integrante para transformar o lado esquerdo numa derivada de produto.

Passo 3

Definição e escolha do fator integrante: o fator integrante \mu(t) é dado por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Como p(t)=-1, temos
\mu(t)=\exp\!\left(\int -1\,dt\right)=\exp(-t)=e^{-t}.
Explicação rápida do porquê: multiplicando a equação por \mu(t) queremos que o lado esquerdo seja \dfrac{d}{dt}\big(\mu(t)\,x\big). Isso funciona porque \dfrac{d}{dt}(\mu x)=\mu\frac{dx}{dt}+\mu' x e \mu'/\mu=p.

Passo 4

Multiplicamos a equação por e^{-t}:
e^{-t}\frac{d x}{d t}-e^{-t}x=e^{-t}\operatorname{sen} t.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\big(e^{-t}x\big)=e^{-t}\frac{d x}{d t}-e^{-t}x.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dt}\big(e^{-t}x\big)=e^{-t}\operatorname{sen} t.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^{-t}x=\int e^{-t}\operatorname{sen} t\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
I=\int e^{-t}\operatorname{sen} t\,dt.

Passo 6

Vamos calcular I por partes — é um procedimento bem padrão e fácil de lembrar na prova. Tomamos
u=\operatorname{sen} t,\qquad dv=e^{-t}dt.
Então
du=\cos t\,dt,\qquad v=\int e^{-t}dt=-e^{-t}.
Aplicando a fórmula de integração por partes \int u\,dv = u v - \int v\,du, obtemos
I=-e^{-t}\operatorname{sen} t + \int e^{-t}\cos t\,dt.
Chamemos
J=\int e^{-t}\cos t\,dt.

Passo 7

Calcule J também por partes. Escolha
u=\cos t,\qquad dv=e^{-t}dt,
portanto
du=-\operatorname{sen} t\,dt,\qquad v=-e^{-t}.
Então
J=-e^{-t}\cos t - \int e^{-t}\operatorname{sen} t\,dt = -e^{-t}\cos t - I.
Voltando para a expressão de I do Passo 6, substituímos J:
I = -e^{-t}\operatorname{sen} t + J = -e^{-t}\operatorname{sen} t + \big(-e^{-t}\cos t - I\big).
Isolando I temos
2I = -e^{-t}\big(\operatorname{sen} t + \cos t\big).
Logo
I = -\frac{1}{2}e^{-t}\big(\operatorname{sen} t + \cos t\big) + C_1,
onde C_1 é constante (que podemos absorver depois na constante geral).

Passo 8

Substituímos I de volta em \displaystyle e^{-t}x=\int e^{-t}\operatorname{sen} t\,dt + C:
e^{-t}x = -\frac{1}{2}e^{-t}\big(\operatorname{sen} t + \cos t\big) + C.
Multiplicando ambos os lados por e^{t} obtemos a solução geral
x(t) = -\frac{1}{2}\big(\operatorname{sen} t + \cos t\big) + C e^{t},
onde C é a constante de integração (renomeada).

Passo 9

Interpretação final (dica para a prova): a solução geral é a soma da solução da homogênea e de uma particular. A parte homogênea da equação \frac{dx}{dt}-x=0 é x_h(t)=C e^{t}. Uma solução particular que encontramos é x_p(t)=-\tfrac{1}{2}(\operatorname{sen} t+\cos t). Somando dá a solução geral acima. Respira: está pronta — é um procedimento padrão que cai muito em prova!

Resposta

x(t)=-\dfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen} t+\cos t\big)+C e^{t}

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