Resolve:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
ou seja, encontrar a solução geral
que satisfaça essa equação.
Informações dadas: a equação relaciona a derivada com
e com
.
Informações dadas: a equação relaciona a derivada
Passo 2
Vamos escrever a equação numa forma padrão para equações lineares de 1ª ordem. Subtraindo
dos dois lados temos
Aqui estamos no formato
com
e
. A ideia é usar um fator integrante para transformar o lado esquerdo numa derivada de produto.
Passo 3
Definição e escolha do fator integrante: o fator integrante
é dado por
Como
, temos
Explicação rápida do porquê: multiplicando a equação por
queremos que o lado esquerdo seja
. Isso funciona porque
e
.
Passo 4
Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
Portanto a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
Passo 6
Vamos calcular
por partes — é um procedimento bem padrão e fácil de lembrar na prova. Tomamos
Então
Aplicando a fórmula de integração por partes
, obtemos
Chamemos
Passo 7
Calcule
também por partes. Escolha
portanto
Então
Voltando para a expressão de
do Passo 6, substituímos
:
Isolando
temos
Logo
onde
é constante (que podemos absorver depois na constante geral).
Passo 8
Substituímos
de volta em
:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a solução geral
onde
é a constante de integração (renomeada).
Passo 9
Interpretação final (dica para a prova): a solução geral é a soma da solução da homogênea e de uma particular. A parte homogênea da equação
é
. Uma solução particular que encontramos é
. Somando dá a solução geral acima. Respira: está pronta — é um procedimento padrão que cai muito em prova!