Resolve:
\frac{d y}{d x}=y \ln x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=y\ln x
e pede que a gente encontre a solução geral y(x). Informações relevantes fornecidas:
  • A função \ln x aparece, logo estamos trabalhando com x tais que x>0 (domínio natural da solução).
  • Não foi dada condição inicial, então queremos a solução geral com constante arbitrária.
  • A equação relaciona a derivada de y com y e uma função de x.

Passo 2

Reconhecemos que a equação é separável: dá para colocar todos os termos com y em um lado e todos os termos com x no outro. Começamos reescrevendo:
\frac{d y}{d x}=y\ln x
Dividindo ambos os lados por y (cuidadoso: isso supõe y\neq0; depois veremos o caso y=0),
\frac{1}{y}\frac{d y}{d x}=\ln x.
Agora multiplicamos por dx para separar as variáveis:
\frac{1}{y}\,dy=\ln x\,dx.
Isto significa que podemos integrar o lado esquerdo em y e o direito em x.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Do lado esquerdo usamos a primitiva conhecida de \frac{1}{y}:
\int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y| + C_1.
Do lado direito precisamos calcular \int \ln x\,dx. Vamos fazer isso com integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Tomamos u=\ln x e dv=dx. Então du=\frac{1}{x}dx e v=x. Aplicando:
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C_2.

Passo 4

Igualando as integrais (e juntando as constantes C_1 e C_2 numa só constante C), obtemos
\ln|y| = x\ln x - x + C.
Agora exponenciamos ambos os lados para resolver para y:
|y| = e^{x\ln x - x + C} = e^{C}\,e^{x\ln x - x}.
Definindo a constante positiva A=e^{C}>0, temos |y|=A e^{x\ln x - x}. Portanto
y=\pm A e^{x\ln x - x}.
Como a escolha do sinal pode ser absorvida numa constante arbitrária C que pode ser qualquer número real, escrevemos a solução geral como
y = C\,e^{x\ln x - x},
onde C\in\mathbb{R}. Usamos a identidade exponencial e^{x\ln x} = x^{x} (válida para x>0), obtendo uma forma mais compacta:
y = C\,x^{x}e^{-x}.
Observe que C=0 produz a solução trivial y\equiv0, que também satisfaz a equação original.

Passo 5

Fica uma verificação rápida e elegante: tomar logaritmo da solução (quando y\neq0) dá
\ln y = \ln C + x\ln x - x.
Derivando ambos os lados em x,
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \ln x + x\cdot\frac{1}{x} - 1 = \ln x,
logo \frac{dy}{dx}=y\ln x, que confirma que a solução encontrada está correta.

Resposta

y=0
y=C\,x^{x}e^{-x},\;C\in\mathbb{R}

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