Resolve:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a gente encontre a solução geral
. Informações relevantes fornecidas:
- A função
aparece, logo estamos trabalhando com tais que (domínio natural da solução). - Não foi dada condição inicial, então queremos a solução geral com constante arbitrária.
- A equação relaciona a derivada de
com e uma função de .
Passo 2
Reconhecemos que a equação é separável: dá para colocar todos os termos com
em um lado e todos os termos com
no outro. Começamos reescrevendo:
Dividindo ambos os lados por
(cuidadoso: isso supõe
; depois veremos o caso
),
Agora multiplicamos por
para separar as variáveis:
Isto significa que podemos integrar o lado esquerdo em
e o direito em
.
Passo 3
Integramos ambos os lados. Do lado esquerdo usamos a primitiva conhecida de
:
Do lado direito precisamos calcular
. Vamos fazer isso com integração por partes. A fórmula de integração por partes é
Tomamos
e
. Então
e
. Aplicando:
Passo 4
Igualando as integrais (e juntando as constantes
e
numa só constante
), obtemos
Agora exponenciamos ambos os lados para resolver para
:
Definindo a constante positiva
, temos
. Portanto
Como a escolha do sinal pode ser absorvida numa constante arbitrária
que pode ser qualquer número real, escrevemos a solução geral como
onde
. Usamos a identidade exponencial
(válida para
), obtendo uma forma mais compacta:
Observe que
produz a solução trivial
, que também satisfaz a equação original.
Passo 5
Fica uma verificação rápida e elegante: tomar logaritmo da solução (quando
) dá
Derivando ambos os lados em
,
logo
, que confirma que a solução encontrada está correta.