Resolve:
Passo 1
Enunciado:
\n
O que se pede: encontrar a função geral que satisfaz essa equação diferencial.\n
Informações dadas: a equação relaciona a derivada de com
e a função
. Não há condições iniciais fornecidas, então procuramos a solução geral com constante arbitrária.
O que se pede: encontrar a função
Informações dadas: a equação relaciona a derivada de
Passo 2
Reescrevemos a equação numa forma padrão mais clara para manipular:
Aqui agrupamos os termos com
para obter uma equação do tipo
com
e
.
Passo 3
Idéia do método que vamos usar (explicação didática): se temos uma equação da forma
, existe uma função multiplicativa chamada fator integrante
tal que, ao multiplicar toda a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada do produto
. Isso facilita porque então podemos integrar ambos os lados diretamente. O fator integrante é definido por
Explicando: queremos
tal que
satisfaça
o que é exatamente o produto do fator integrante com o lado esquerdo original depois de multiplicar por
.
Passo 4
Calculamos o fator integrante para o nosso caso com
:
Multiplicamos a equação original por
:
Pelo motivo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Precisamos, então, calcular a integral
Vou calcular
passo a passo por integração por partes (método padrão quando aparece produto exponencial×trigonométrica).
Passo 6
Cálculo de
por partes. Tome
Então
Aplicando integração por partes
:
Definimos a segunda integral como
Então
Passo 7
Calculamos
também por partes. Tome
Então
Logo
Mas
é justamente
. Portanto
Passo 8
Voltando à relação do Passo 6, substituímos
:
Simplificando:
Somando
em ambos os lados:
Portanto
Passo 9
Substituímos o resultado de
na expressão obtida no Passo 5:
Isolando
:
Essa é a solução geral. A constante
é arbitrária e aparece pelo fato de integrarmos.
Passo 10
Verificação rápida (pra termos confiança): calculando a derivada de
Calculando
:
o que coincide com
. Logo a solução está correta.