Resolve:
\frac{d y}{d x}=-2 y+\cos 2 x

Passo 1

Enunciado: \displaystyle \frac{dy}{dx} = -2y + \cos 2x.\n
O que se pede: encontrar a função y(x) geral que satisfaz essa equação diferencial.\n
Informações dadas: a equação relaciona a derivada de y com y e a função \cos 2x. Não há condições iniciais fornecidas, então procuramos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Reescrevemos a equação numa forma padrão mais clara para manipular:
\frac{dy}{dx} + 2y = \cos 2x.
Aqui agrupamos os termos com y para obter uma equação do tipo \displaystyle \frac{dy}{dx} + p(x)\,y = q(x) com p(x)=2 e q(x)=\cos 2x.

Passo 3

Idéia do método que vamos usar (explicação didática): se temos uma equação da forma \displaystyle \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x), existe uma função multiplicativa chamada fator integrante \mu(x) tal que, ao multiplicar toda a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)y. Isso facilita porque então podemos integrar ambos os lados diretamente. O fator integrante é definido por
\mu(x)=\exp\!\biggl(\int p(x)\,dx\biggr).
Explicando: queremos \mu tal que \mu y satisfaça
\frac{d}{dx}\bigl(\mu y\bigr)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu p(x)y,
o que é exatamente o produto do fator integrante com o lado esquerdo original depois de multiplicar por \mu.

Passo 4

Calculamos o fator integrante para o nosso caso com p(x)=2:
\mu(x)=\exp\!\biggl(\int 2\,dx\biggr)=\exp(2x)=e^{2x}.
Multiplicamos a equação original por e^{2x}:
e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y = e^{2x}\cos 2x.
Pelo motivo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y\bigr)=e^{2x}\cos 2x.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{2x}y=\int e^{2x}\cos 2x\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Precisamos, então, calcular a integral
I=\int e^{2x}\cos 2x\,dx.
Vou calcular I passo a passo por integração por partes (método padrão quando aparece produto exponencial×trigonométrica).

Passo 6

Cálculo de I por partes. Tome
u=e^{2x},\qquad dv=\cos 2x\,dx.
Então
du=2e^{2x}\,dx,\qquad v=\frac{1}{2}\sin 2x.
Aplicando integração por partes I=uv-\int v\,du:
I=\frac{1}{2}e^{2x}\sin 2x - \int \frac{1}{2}\sin 2x\cdot 2e^{2x}\,dx
I=\frac{1}{2}e^{2x}\sin 2x - \int e^{2x}\sin 2x\,dx.
Definimos a segunda integral como
J=\int e^{2x}\sin 2x\,dx.
Então
I=\frac{1}{2}e^{2x}\sin 2x - J.

Passo 7

Calculamos J também por partes. Tome
u=e^{2x},\qquad dv=\sin 2x\,dx.
Então
du=2e^{2x}\,dx,\qquad v=-\frac{1}{2}\cos 2x.
Logo
J=-\frac{1}{2}e^{2x}\cos 2x - \int -\frac{1}{2}\cos 2x\cdot 2e^{2x}\,dx
J=-\frac{1}{2}e^{2x}\cos 2x + \int e^{2x}\cos 2x\,dx.
Mas \int e^{2x}\cos 2x\,dx é justamente I. Portanto
J=-\frac{1}{2}e^{2x}\cos 2x + I.

Passo 8

Voltando à relação do Passo 6, substituímos J:
I=\frac{1}{2}e^{2x}\sin 2x - \biggl(-\frac{1}{2}e^{2x}\cos 2x + I\biggr).
Simplificando:
I=\frac{1}{2}e^{2x}\sin 2x + \frac{1}{2}e^{2x}\cos 2x - I.
Somando I em ambos os lados:
2I=\frac{1}{2}e^{2x}(\sin 2x+\cos 2x).
Portanto
I=\frac{1}{4}e^{2x}(\sin 2x+\cos 2x).

Passo 9

Substituímos o resultado de I na expressão obtida no Passo 5:
e^{2x}y=\frac{1}{4}e^{2x}(\sin 2x+\cos 2x)+C.
Isolando y:
y=\frac{1}{4}(\sin 2x+\cos 2x)+C e^{-2x}.
Essa é a solução geral. A constante C é arbitrária e aparece pelo fato de integrarmos.

Passo 10

Verificação rápida (pra termos confiança): calculando a derivada de y
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{4}(2\cos 2x-2\sin 2x)-2Ce^{-2x}=\frac{1}{2}(\cos 2x-\sin 2x)-2Ce^{-2x}.
Calculando -2y+\cos 2x:
-2y+\cos 2x=-2\biggl(\frac{1}{4}(\sin 2x+\cos 2x)+Ce^{-2x}\biggr)+\cos 2x
=-\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x-2Ce^{-2x}+\cos 2x
=\frac{1}{2}(\cos 2x-\sin 2x)-2Ce^{-2x},
o que coincide com \displaystyle \frac{dy}{dx}. Logo a solução está correta.

Resposta

y(x)=\frac{\sin 2x+\cos 2x}{4}+C e^{-2x}

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