Resolve:
\frac{d y}{d x}=x-y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=x-y.
Informações dadas:
\text{equação diferencial envolvendo }y(x)\text{; não há condição inicial fornecida.}çããáçã
Portanto precisamos encontrar a solução geral y(x) (com constante arbitrária).

Passo 2

Primeiro reorganizo a equação para uma forma mais familiar, isolando os termos em y:
\frac{d y}{d x}+y=x.
Isso é uma equação onde aparece \frac{dy}{dx} somado a uma função multiplicando y. Vou usar o método do fator integrante porque ele é direto para esse tipo de equação (equação linear de primeira ordem) e é rápido de aplicar em prova. Separação de variáveis não é conveniente aqui porque x e y aparecem somados.

Passo 3

Explico o que é fator integrante: para uma equação da forma
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x),
define-se o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Multiplicar a equação por \mu(x) transforma o lado esquerdo na derivada do produto \mu(x)\,y, porque
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu' y
e \mu'=\mu p por construção. No nosso caso temos p(x)=1, então
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.

Passo 4

Multiplico a equação reorganizada por \mu(x)=e^{x}:
e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y = x e^{x}.
Pelo motivo explicado,
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=x e^{x}.

Passo 5

Integro ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)\,dx = \int x e^{x}\,dx.
O lado esquerdo é simplesmente
e^{x}y.
Agora calculo \int x e^{x}\,dx usando integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolho u=x e dv=e^{x}dx. Então du=dx e v=e^{x}. Aplicando:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração.

Passo 6

Igualando os resultados:
e^{x}y = x e^{x} - e^{x} + C_1.
Divido por e^{x} (que nunca é zero) para isolar y:
y = x - 1 + C_1 e^{-x}.
Renomeando a constante arbitrária C_1 simplesmente por C, obtemos a solução geral
y(x)=x-1+Ce^{-x},
com C constante real arbitrária.

Passo 7

Rápido exemplo prático de uso: se tivéssemos a condição inicial y(0)=y_0, substituímos x=0 e obtemos
y_0 = 0-1 + C e^{0} \Rightarrow C = y_0+1,
logo a solução particular seria y=x-1+(y_0+1)e^{-x}. Vai dar tudo certo — respira — com essa forma você resolve qualquer condição inicial.

Resposta

y=x-1+Ce^{-x}

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