Resolve:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
Portanto precisamos encontrar a solução geral
(com constante arbitrária).
Passo 2
Primeiro reorganizo a equação para uma forma mais familiar, isolando os termos em
:
Isso é uma equação onde aparece
somado a uma função multiplicando
. Vou usar o método do fator integrante porque ele é direto para esse tipo de equação (equação linear de primeira ordem) e é rápido de aplicar em prova. Separação de variáveis não é conveniente aqui porque
e
aparecem somados.
Passo 3
Explico o que é fator integrante: para uma equação da forma
define-se o fator integrante
Multiplicar a equação por
transforma o lado esquerdo na derivada do produto
, porque
e
por construção. No nosso caso temos
, então
Passo 4
Multiplico a equação reorganizada por
:
Pelo motivo explicado,
Passo 5
Integro ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo é simplesmente
Agora calculo
usando integração por partes. A fórmula de integração por partes é
Escolho
e
. Então
e
. Aplicando:
onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Igualando os resultados:
Divido por
(que nunca é zero) para isolar
:
Renomeando a constante arbitrária
simplesmente por
, obtemos a solução geral
com
constante real arbitrária.
Passo 7
Rápido exemplo prático de uso: se tivéssemos a condição inicial
, substituímos
e obtemos
logo a solução particular seria
. Vai dar tudo certo — respira — com essa forma você resolve qualquer condição inicial.