A equação diferencial é linear de coeficientes constantes, de segunda ordem.
O termo do lado direito é a constante \,e^{-\pi}\, (um número real fixo).
Precisamos encontrar a função y(x) que satisfaz a equação e as condições iniciais em x=0.]
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada (ou seja, sem o termo do lado direito):
y'' - 8y' + 15y = 0.
Método (explicação didática): para equações lineares com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica:
r^2 - 8r + 15 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática.
Passo 3
Resolver a equação característica:
r^2 - 8r + 15 = 0.
Fatorando:
r^2 - 8r + 15 = (r-3)(r-5)=0,
portanto as raízes são r=3 e r=5 (raízes reais distintas). Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1,r_2, a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}.
Logo
y_h(x)=C_1 e^{3x} + C_2 e^{5x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Encontrar uma solução particular y_p(x) da equação completa
y'' - 8y' + 15y = e^{-\pi}.
Motivação e método (aula rápida): o lado direito é uma constante (função polinomial de grau zero). Pelo método dos coeficientes indeterminados, tenta-se uma solução particular constante
y_p(x)=A,
onde A é uma constante a determinar. Isso funciona desde que e^{0x}=1 não seja solução da homogênea (ou seja, r=0 não seja raiz da característica); aqui 0 não é raiz, então tentar constante é apropriado.
Passo 5
Calcular A substituindo y_p=A na equação:
Como y_p'=0 e y_p''=0, a equação dá
15A = e^{-\pi}.
Portanto
A = \frac{e^{-\pi}}{15}.
Assim a solução particular é
y_p(x)=\frac{e^{-\pi}}{15}.
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular: