Resolve a P.V.I
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+15 y=e^{-\pi} \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.
\begin{aligned} & f(0)=1 \\\ & y^{\prime}(0)=0 \end{aligned}

Passo 1

O problema pede resolver a P.V.I. (problema de valor inicial) dada por:
\left\{\begin{array}{l} y'' - 8y' + 15y = e^{-\pi},\\[4pt] y(0)=1,\\[4pt] y'(0)=0. \end{array}\right.
Informações dadas que usaremos:
  • A equação diferencial é linear de coeficientes constantes, de segunda ordem.
  • O termo do lado direito é a constante \,e^{-\pi}\, (um número real fixo).
  • Precisamos encontrar a função y(x) que satisfaz a equação e as condições iniciais em x=0.]

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada (ou seja, sem o termo do lado direito):
y'' - 8y' + 15y = 0.
Método (explicação didática): para equações lineares com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica:
r^2 - 8r + 15 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática.

Passo 3

Resolver a equação característica:
r^2 - 8r + 15 = 0.
Fatorando:
r^2 - 8r + 15 = (r-3)(r-5)=0,
portanto as raízes são r=3 e r=5 (raízes reais distintas). Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1,r_2, a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}.
Logo
y_h(x)=C_1 e^{3x} + C_2 e^{5x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Encontrar uma solução particular y_p(x) da equação completa
y'' - 8y' + 15y = e^{-\pi}.
Motivação e método (aula rápida): o lado direito é uma constante (função polinomial de grau zero). Pelo método dos coeficientes indeterminados, tenta-se uma solução particular constante
y_p(x)=A,
onde A é uma constante a determinar. Isso funciona desde que e^{0x}=1 não seja solução da homogênea (ou seja, r=0 não seja raiz da característica); aqui 0 não é raiz, então tentar constante é apropriado.

Passo 5

Calcular A substituindo y_p=A na equação:
Como y_p'=0 e y_p''=0, a equação dá
15A = e^{-\pi}.
Portanto
A = \frac{e^{-\pi}}{15}.
Assim a solução particular é
y_p(x)=\frac{e^{-\pi}}{15}.

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_1 e^{3x} + C_2 e^{5x} + \frac{e^{-\pi}}{15}.
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.

Passo 7

Aplicar y(0)=1. Substituindo x=0 em y(x):
y(0)=C_1 + C_2 + \frac{e^{-\pi}}{15} = 1.
Logo obtemos a primeira equação para C_1 e C_2:
C_1 + C_2 = 1 - \frac{e^{-\pi}}{15}.
Denote, para facilitar, \displaystyle A_0 = 1 - \frac{e^{-\pi}}{15}. (Só um apelido para deixar as contas mais limpas.)

Passo 8

Calcular y'(x) e usar y'(0)=0.
Derivando y(x):
y'(x)=3C_1 e^{3x} + 5C_2 e^{5x}.
Em x=0:
y'(0)=3C_1 + 5C_2 = 0.
Assim a segunda equação é
3C_1 + 5C_2 = 0.

Passo 9

Resolver o sistema linear
\begin{cases} C_1 + C_2 = A_0,\\[4pt] 3C_1 + 5C_2 = 0. \end{cases}
Fazendo substituição: de C_1 = A_0 - C_2. Substituindo na segunda equação:
3(A_0 - C_2) + 5C_2 = 0.
Desenvolvendo:
3A_0 - 3C_2 + 5C_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3A_0 + 2C_2 = 0.
Logo
C_2 = -\frac{3A_0}{2}.
E então
C_1 = A_0 - C_2 = A_0 - \left(-\frac{3A_0}{2}\right) = A_0 + \frac{3A_0}{2} = \frac{5A_0}{2}.]

Passo 10

Substituir A_0 = 1 - \dfrac{e^{-\pi}}{15} de volta para escrever C_1 e C_2 explicitamente:
C_1 = \frac{5}{2}\left(1 - \frac{e^{-\pi}}{15}\right), \qquad C_2 = -\frac{3}{2}\left(1 - \frac{e^{-\pi}}{15}\right).
Portanto a solução final é
y(x)=\frac{5}{2}\!\left(1 - \frac{e^{-\pi}}{15}\right)e^{3x} -\frac{3}{2}\!\left(1 - \frac{e^{-\pi}}{15}\right)e^{5x} +\frac{e^{-\pi}}{15}.
Opcionalmente, pode-se fatorar \dfrac{1}{2}\big(1-\dfrac{e^{-\pi}}{15}\big):
y(x)=\frac{1}{2}\!\left(1 - \frac{e^{-\pi}}{15}\right)\!\left(5e^{3x}-3e^{5x}\right)+\frac{e^{-\pi}}{15}.

Resposta

y(x)=\frac{1}{2}\!\left(1 - \frac{e^{-\pi}}{15}\right)\!\left(5e^{3x}-3e^{5x}\right)+\frac{e^{-\pi}}{15}.

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