Resolve os sequintes poblemas de volores iniciais.
x^prime=(cc-3 & 2 -1 & -1) x, x(0)=binom1-2

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes
x' = A,x, A = -3 & 2 -1 & -1,
e condição inicial
x(0)=binom1-2
O conteúdo aqui é a construção da matriz exponencial e^At para encontrar x(t)=e^Atx(0).

Passo 2

Calcule o traço e o determinante de A:
tr(A) = -3 + (-1) = -4, det(A) = (-3)(-1) - (2)(-1) = 5
O polinômio característico é
det(A - lambda I) = lambda^2 + 4lambda + 5,
cuja solução é
lambda = -2 pm i
Portanto podemos escrever
A = -2I + N,
onde os autovalores de N são pm i.

Passo 3

Determine
N = A + 2I = -1 & 2 -1 & 1
Uma verificação rápida mostra que
N^2 = -I,
logo a série exponencial de N resulta em
e^Nt = Icos t + Nsin t

Passo 4

Usando e^At = e^-2te^Nt, temos
e^At = e^-2tl(Icos t + Nsin tr) = e^-2t cos t - sin t & 2sin t -sin t & cos t + sin t

Passo 5

Finalmente, multiplicamos pela condição inicial x(0)=binom1-2:
x(t) = e^At,x(0) = e^-2t cos t - sin t & 2sin t -sin t & cos t + sin t binom1-2 = binome^-2tl(cos t - 5sin tr)e^-2tl(-2cos t - 3sin tr)

Resposta

x(t) = binome^-2tl(cos t - 5sin tr)e^-2tl(-2cos t - 3sin tr)

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