Resolve os sequintes poblemas de volores iniciais.
x^prime=(ll1 & 1 1 & 1) x, x(0)=binom11

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem com condições iniciais
x'(t)=A,x(t), A=1 & 11 & 1, x(0)=11
Este é um sistema de coeficientes constantes. Vamos usar o método de diagonalização (autovalores e autovetores) para escrever a solução geral.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
detl(A-lambda Ir) =det1-lambda & 11 & 1-lambda =(1-lambda)^2-1 =lambda^2-2lambda =lambda(lambda-2)
Logo, os autovalores são
lambda1=0, lambda2=2

Passo 3

Agora achamos os autovetores correspondentes:
Para lambda2=2 resolvemos (A-2I)v=0, isto é
-1 & 11 & -1v=0
que fornece o autovetor
v2=11
Para lambda1=0 resolvemos A,v=0, isto é
1 & 11 & 1v=0
que dá o autovetor
v1=-11

Passo 4

Expressamos a condição inicial como combinação dos autovetores. Queremos
Isso gera o sistema
cuja solução é . Ou seja,

Passo 5

A solução geral do sistema é
x(t) =alpha,e^lambda2 t,v2+beta,e^lambda1 t,v1 =1cdot e^2t11 +0cdot e^0cdot t-11 =e^2t11

Resposta

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