Seja f: R^n R uma função de classe C^infty.
(1,0 ponto) a) Suponha que f(x)=0 para todo x in S^n-1:=x in R^n ;|x|=1. Prove que existe um ponto crítico de f em B1(0):=x in R^n ;|x|<1.
(0,5 ponto) b) Suponha que d^4 f(0)(v)=sumi, j, k, l partial^4 fpartial xi partial xj partial xk partial xl vi vj vk vl>0, para todo v=(v1, ldots, vn) neq 0. Mostre que existe uma constante c>0 tal que d^4 f(0)(v)>c|v|^4 (Dica: Use que S^n-1 é compacto e escreva v=|v| v|v|.)
(1,0 ponto) c) Suponha que f(0)=0, partial fpartial xj(0)=0, partial^2 fpartial xj partial xk(0)=0 e partial^3 fpartial xj partial xk partial xl(0)=0 para todo j, k, l in1, ldots, n. Suponha que para todo v=(v1, ldots, vn) neq 0, temos d^4 f(0)(v)=sumi, j, k, l partial^4 fpartial xi partial xj partial xk partial xl vi vj vk vl>0. Prove que o ponto 0 é um ponto de mínimo local de f. Ele é um ponto de mínimo local estrito de f ? (Dica: Use série de Taylor)

Passo 1

O enunciado trata de f:R^ntoR de classe C^infty e pede:
a) Mostrar que, se f(x)=0 para todo x com |x|=1, então existe ponto crítico de f em B1(0)=x:|x|<1.
b) Provar que, se a forma quártica
d^4f(0)(v)=sumi,j,k,lpartial^4 fpartial xipartial xjpartial xkpartial xl(0),vi vj vk vl
é estritamente positiva em cada vneq0, então existe c>0 tal que
d^4f(0)(v)>= c|v|^4,forall vinR^n
c) Com todas derivadas de ordem <=3 anuladas em 0 e a quártica positiva, mostrar que 0 é mínimo local (estrito) de f, usando a série de Taylor de 4.º ordem.
Conteúdos principais: Teorema do Valor Extremo, compacidade de S^n-1, formas homogêneas e Teorema de Taylor.

Passo 2

(Prova de a) pelo Teorema do Valor Extremo)
Como B1(0) é compacto e f é contínua, f atinge seu máximo e seu mínimo em B1(0). Seja x^*inB1(0) um ponto onde f atinge um extremo (máximo ou mínimo).

Passo 3

(Conclusão de que existe extremo interior ou fequiv0)
Em S^n-1 temos f=0. Se f(0)ne0, então o extremo não pode ocorrer em x=0 com valor zero, logo o extremo ocorre em algum ponto do interior B1(0) e aí nabla f(x^*)=0.
Se f(0)=0, então o máximo e o mínimo em B1(0) valem ambos zero, e por continuidade fequiv0 em B1(0). Então todo ponto de B1(0) é crítico. Assim em todo caso existe ponto crítico em B1(0).

Passo 4

(Prova de b) usando compacidade de S^n-1)
Defina
hcolon S^n-1toR, h(u)=d^4f(0)(u)
Por hipótese h(u)>0 para todo uin S^n-1, e h é contínua. Como S^n-1 é compacto, h atinge um mínimo estritamente positivo, digamos
c=minuin S^n-1h(u)>0

Passo 5

(Extensão para todo vinR^n)
Dado vneq0, escreva v=|v|;u com u=v/|v|in S^n-1. Pela homogeneidade de grau 4 da forma quártica,
d^4f(0)(v)=|v|^4,d^4f(0)(u),>=,|v|^4,c
Isto prova a desigualdade solicitada.

Passo 6

(Prova de c) usando Taylor de ordem 4)
Como todas as derivadas de ordem <=3 em 0 são nulas, a fórmula de Taylor com resto na forma de Lagrange ou em ordem o(|v|^4) dá, para v pequeno,
f(v) =14!,d^4f(0)(v)+r(v),
onde limvto0r(v)|v|^4=0. Pela parte (b) existe c>0 tal que d^4f(0)(v)>= c|v|^4. Escolha de<a>0 tal que l|r(v)r|<=c2cdot4!|v|^4 sempre que |v|<de<a. Então, para |v|<de<a,
f(v)>=c4!|v|^4-c2cdot4!|v|^4 =c2cdot4!|v|^4>0
Isso mostra que f(v)>f(0)=0 para todo 0<|v|<de<a, logo 0 é um ponto de mínimo local estrito de f.

Resposta

a) Pela existência de máximo ou mínimo em B1(0) e pelo fato de f=0 em S^n-1, conclui-se que há ponto crítico em B1(0).
b) A função h(u)=d^4f(0)(u) é contínua e positiva em S^n-1, logo atinge mínimo c>0, e então
d^4f(0)(v)=|v|^4,hl(v/|v|r)>= c|v|^4
c) Aplicando a expansão de Taylor de 4.º ordem e usando o resultado da letra b), obtém-se f(v)>0 para |v| pequeno, provando que 0 é mínimo local estrito de f.

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