Seja uma função de classe .
(1,0 ponto) a) Suponha que para todo . Prove que existe um ponto crítico de em .
(0,5 ponto) b) Suponha que , para todo . Mostre que existe uma constante tal que (Dica: Use que é compacto e escreva .) ponto) c) Suponha que e para todo . Suponha que para todo , temos . Prove que o ponto 0 é um ponto de mínimo local de . Ele é um ponto de mínimo local estrito de ? (Dica: Use série de Taylor)
Passo 1
O enunciado trata de de classe e pede:
a) Mostrar que, se para todo com , então existe ponto crítico de em .
b) Provar que, se a forma quártica
é estritamente positiva em cada , então existe tal que
c) Com todas derivadas de ordem anuladas em e a quártica positiva, mostrar que é mínimo local (estrito) de , usando a série de Taylor de 4.º ordem.
Conteúdos principais: Teorema do Valor Extremo, compacidade de , formas homogêneas e Teorema de Taylor.
Passo 2
(Prova de a) pelo Teorema do Valor Extremo)
Como é compacto e f é contínua, f atinge seu máximo e seu mínimo em B1(0). Seja x^*inB1(0) um ponto onde f atinge um extremo (máximo ou mínimo).
Passo 3
(Conclusão de que existe extremo interior ou fequiv0)
Em S^n-1 temos f=0. Se f(0)ne0, então o extremo não pode ocorrer em x=0 com valor zero, logo o extremo ocorre em algum ponto do interior B1(0) e aí nabla f(x^*)=0.
Se f(0)=0, então o máximo e o mínimo em B1(0) valem ambos zero, e por continuidade fequiv0 em B1(0). Então todo ponto de B1(0) é crítico. Assim em todo caso existe ponto crítico em B1(0).
Passo 4
(Prova de b) usando compacidade de S^n-1)
Defina
hcolon S^n-1toR, h(u)=d^4f(0)(u)
Por hipótese h(u)>0 para todo uin S^n-1, e h é contínua. Como S^n-1 é compacto, h atinge um mínimo estritamente positivo, digamos
c=minuin S^n-1h(u)>0
Passo 5
(Extensão para todo vinR^n)
Dado vneq0, escreva v=|v|;u com u=v/|v|in S^n-1. Pela homogeneidade de grau 4 da forma quártica,
d^4f(0)(v)=|v|^4,d^4f(0)(u),>=,|v|^4,c
Isto prova a desigualdade solicitada.
Passo 6
(Prova de c) usando Taylor de ordem 4)
Como todas as derivadas de ordem <=3 em 0 são nulas, a fórmula de Taylor com resto na forma de Lagrange ou em ordem o(|v|^4) dá, para v pequeno,
f(v) =14!,d^4f(0)(v)+r(v),
onde limvto0r(v)|v|^4=0. Pela parte (b) existe c>0 tal que d^4f(0)(v)>= c|v|^4. Escolha de<a>0 tal que l|r(v)r|<=c2cdot4!|v|^4 sempre que |v|<de<a. Então, para |v|<de<a,
f(v)>=c4!|v|^4-c2cdot4!|v|^4 =c2cdot4!|v|^4>0
Isso mostra que f(v)>f(0)=0 para todo 0<|v|<de<a, logo 0 é um ponto de mínimo local estrito de f.
Resposta
a) Pela existência de máximo ou mínimo em B1(0) e pelo fato de f=0 em S^n-1, conclui-se que há ponto crítico em B1(0).
b) A função h(u)=d^4f(0)(u) é contínua e positiva em S^n-1, logo atinge mínimo c>0, e então
d^4f(0)(v)=|v|^4,hl(v/|v|r)>= c|v|^4
c) Aplicando a expansão de Taylor de 4.º ordem e usando o resultado da letra b), obtém-se f(v)>0 para |v| pequeno, provando que 0 é mínimo local estrito de f.