Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função tal que, para todo x \neq 1, tem-se:
\frac{x^{2}-1}{x-1} \leq f(x) \leq \frac{x^{2}+3}{2} .
Calcule \lim _{x \rightarrow 1} f(x), caso exista, justificando sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e diz que, para todo x\neq 1,
\frac{x^{2}-1}{x-1} \leq f(x) \leq \frac{x^{2}+3}{2}.
A pergunta é: calcular \lim_{x\to 1} f(x), caso exista, e justificar a resposta.
Informações relevantes listadas:
  • A desigualdade acima vale para todo x diferente de 1.
  • O valor de f(1) (se existir) não foi fornecido — estamos interessados no limite quando x se aproxima de 1, não no valor em 1.

Passo 2

Simplifico a expressão do lado esquerdo. Como
x^{2}-1=(x-1)(x+1),
para todo x\neq 1 podemos cancelar o fator (x-1) e obter
\frac{x^{2}-1}{x-1}=x+1 \qquad\text{(válido para }x\neq 1\text{)}.á
Portanto, para todo x\neq 1 a desigualdade dada fica
x+1 \leq f(x) \leq \frac{x^{2}+3}{2}.
Observação didática: podemos cancelar (x-1) porque a hipótese do enunciado já exclui x=1; isso evita divisão por zero.

Passo 3

Agora avalio os limites das duas funções que aparecem como cotas, quando x\to 1.
Primeiro,
\lim_{x\to 1} (x+1)=1+1=2,
porque a função x+1 é um polinômio contínuo e, para funções contínuas, o limite ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor no ponto.
Segundo,
\lim_{x\to 1} \frac{x^{2}+3}{2}=\frac{1^{2}+3}{2}=\frac{4}{2}=2,
pela mesma razão: x^2+3 é polinomial contínuo e a operação de divisão por 2 preserva continuidade, então basta substituir x=1.
Portanto ambas as cotas têm limite igual a 2 quando x\to 1.

Passo 4

Aplico o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Sanduíche). Enunciado do teorema (versão usada aqui): se existem funções g,h tais que, num intervalo com exceção possivelmente do ponto a, vale g(x)\le f(x)\le h(x) e se
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então \lim_{x\to a} f(x)=L.
Intuição rápida: f(x) fica “apertada” entre g(x) e h(x); se ambos se aproximam do mesmo número L, f(x) não tem para onde escapar senão aproximar-se de L também.
Exemplo curto para fixar (didático): para \lim_{x\to 0} x\sin(1/x) temos -|x|\le x\sin(1/x)\le |x| e \lim_{x\to 0}\pm|x|=0, então por confronto \lim_{x\to 0} x\sin(1/x)=0.

Passo 5

No nosso caso podemos tomar g(x)=x+1 e h(x)=\dfrac{x^{2}+3}{2}. Já mostramos que, para x\neq 1,
g(x)\le f(x)\le h(x)
e que
\lim_{x\to 1} g(x)=2,\qquad \lim_{x\to 1} h(x)=2.
Pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to 1} f(x)=2.
Observação final: o valor real de f(1) (se definido) é irrelevante para o limite; o que importa é o comportamento de f(x) quando x se aproxima de 1.

Resposta

2

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