Seja
uma função tal que, para todo
, tem-se:
Calcule
, caso exista, justificando sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá uma função
e diz que, para todo
,
A pergunta é: calcular
, caso exista, e justificar a resposta.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- A desigualdade acima vale para todo
diferente de . - O valor de
(se existir) não foi fornecido — estamos interessados no limite quando se aproxima de , não no valor em .
Passo 2
Simplifico a expressão do lado esquerdo. Como
para todo
podemos cancelar o fator
e obter
Portanto, para todo
a desigualdade dada fica
Observação didática: podemos cancelar
porque a hipótese do enunciado já exclui
; isso evita divisão por zero.
Passo 3
Agora avalio os limites das duas funções que aparecem como cotas, quando
.
Primeiro,
porque a função
é um polinômio contínuo e, para funções contínuas, o limite ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor no ponto.
Segundo,
pela mesma razão:
é polinomial contínuo e a operação de divisão por
preserva continuidade, então basta substituir
.
Portanto ambas as cotas têm limite igual a
quando
.
Passo 4
Aplico o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Sanduíche). Enunciado do teorema (versão usada aqui): se existem funções
tais que, num intervalo com exceção possivelmente do ponto
, vale
e se
então
.
Intuição rápida: fica “apertada” entre
e
; se ambos se aproximam do mesmo número
,
não tem para onde escapar senão aproximar-se de
também.
Intuição rápida:
Exemplo curto para fixar (didático): para
temos
e
, então por confronto
.
Passo 5
No nosso caso podemos tomar
e
. Já mostramos que, para
,
e que
Pelo Teorema do Confronto segue que
Observação final: o valor real de
(se definido) é irrelevante para o limite; o que importa é o comportamento de
quando
se aproxima de
.