Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais de cada gráfico das funções abaixo:
f(x)=\frac{x^{2}}{4-x^{2}};

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{4-x^{2}} e pede que eu encontre, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais de seu gráfico.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é a razão entre dois polinômios: numerador \,x^{2}\, e denominador \,4-x^{2}\,.
  • Para encontrar assíntotas verticais devo olhar onde o denominador zera (pois aí a função pode explodir para \pm\infty).
  • Para encontrar assíntotas horizontais devo calcular os limites de f(x) quando x\to+\infty e x\to-\infty.

Passo 2

Definição e estratégia (rapidinha e prática):
  • Assíntota vertical em x=a ocorre quando \displaystyle\lim_{x\to a^-} f(x)=\pm\infty ou \displaystyle\lim_{x\to a^+} f(x)=\pm\infty.
  • Assíntota horizontal em y=L ocorre se \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=L ou \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=L.
Primeiro passo técnico: achar zeros do denominador.
4-x^{2}=0 \iff x^{2}=4 \iff x=\pm 2.
Logo x=2 e x=-2 são candidatos a assíntotas verticais (preciso verificar o comportamento da função aí).
Também anoto o domínio: todos os reais exceto x=\pm 2.

Passo 3

Verificação do comportamento em x=2 usando uma substituição que mostra claramente o crescimento para infinito.
Faço x=2+h com h\to 0. Então
x^{2}=(2+h)^{2}=4+4h+h^{2},
4-x^{2}=4-(4+4h+h^{2})=-4h-h^{2}=-h(4+h).
Logo
f(2+h)=\frac{4+4h+h^{2}}{-h(4+h)}=-\frac{4+4h+h^{2}}{h(4+h)}.
Agora observo o sinal e a magnitude ao aproximar h de 0:
  • Se h\to 0^+ (ou seja x\to 2^+), então h>0 e h(4+h)>0, o numerador é positivo, então o quociente é negativo com módulo que cresce como 1/|h|. Portanto
\lim_{x\to 2^+} f(x)=-\infty.
  • Se h\to 0^- (ou seja x\to 2^-), então h<0 e h(4+h)<0, assim o denominador é negativo, o sinal do todo fica positivo e o módulo cresce muito; portanto
\lim_{x\to 2^-} f(x)=+\infty.
Conclusão: em x=2 a função diverge para \pm\infty (com sinais trocados à esquerda/direita), logo existe assíntota vertical em x=2.

Passo 4

Agora o mesmo raciocínio para x=-2. Faço x=-2+h com h\to 0. Então
x^{2}=(-2+h)^{2}=4-4h+h^{2},
4-x^{2}=4-(4-4h+h^{2})=4h-h^{2}=h(4-h).
Portanto
f(-2+h)=\frac{4-4h+h^{2}}{h(4-h)}.
Analisando os lados:
  • Se h\to 0^+ (ou seja x\to -2^+), então h>0 e h(4-h)>0, numerador positivo, então f(-2+h)\to +\infty.
  • Se h\to 0^- (ou seja x\to -2^-), então h<0 e h(4-h)<0, então f(-2+h)\to -\infty.
Conclusão: em x=-2 a função também diverge para \pm\infty, logo existe assíntota vertical em x=-2.

Passo 5

Agora as assíntotas horizontais: calculo os limites em \pm\infty. Uma técnica padrão para funções racionais é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é x^{2}).
f(x)=\frac{x^{2}}{4-x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}\left(\tfrac{4}{x^{2}}-1\right)}=\frac{1}{\tfrac{4}{x^{2}}-1}.
Agora tomo x\to+\infty: \tfrac{4}{x^{2}}\to 0, então
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\frac{1}{0-1}=-1.
O mesmo para x\to-\infty: \tfrac{4}{x^{2}} também vai para 0, logo
\lim_{x\to-\infty} f(x)=-1.
Assim a linha y=-1 é assíntota horizontal tanto à direita quanto à esquerda.
Observação rápida (regra geral): quando o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal (se existir) é a razão dos coeficientes líderes. Aqui o coeficiente líder do numerador é 1 (de x^{2}) e do denominador é -1 (de -x^{2}), então y=1/(-1)=-1, que coincide com o cálculo acima.

Resposta

Assíntota horizontal: y=-1
Assíntotas verticais: x=-2 e x=2

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