Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais de cada gráfico das funções abaixo:
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu encontre, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais de seu gráfico.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é a razão entre dois polinômios: numerador
e denominador . - Para encontrar assíntotas verticais devo olhar onde o denominador zera (pois aí a função pode explodir para
). - Para encontrar assíntotas horizontais devo calcular os limites de
quando e .
Passo 2
Definição e estratégia (rapidinha e prática):
- Assíntota vertical em
ocorre quando ou . - Assíntota horizontal em
ocorre se ou .
Primeiro passo técnico: achar zeros do denominador.
Logo
e
são candidatos a assíntotas verticais (preciso verificar o comportamento da função aí).
Também anoto o domínio: todos os reais exceto
.
Passo 3
Verificação do comportamento em
usando uma substituição que mostra claramente o crescimento para infinito.
Faço
com
. Então
Logo
Agora observo o sinal e a magnitude ao aproximar
de
:
- Se
(ou seja ), então e , o numerador é positivo, então o quociente é negativo com módulo que cresce como . Portanto
- Se
(ou seja ), então e , assim o denominador é negativo, o sinal do todo fica positivo e o módulo cresce muito; portanto
Conclusão: em
a função diverge para
(com sinais trocados à esquerda/direita), logo existe assíntota vertical em
.
Passo 4
Agora o mesmo raciocínio para
. Faço
com
. Então
Portanto
Analisando os lados:
- Se
(ou seja ), então e , numerador positivo, então . - Se
(ou seja ), então e , então .
Conclusão: em
a função também diverge para
, logo existe assíntota vertical em
.
Passo 5
Agora as assíntotas horizontais: calculo os limites em
. Uma técnica padrão para funções racionais é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui é
).
Agora tomo
:
, então
O mesmo para
:
também vai para
, logo
Assim a linha
é assíntota horizontal tanto à direita quanto à esquerda.
Observação rápida (regra geral): quando o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal (se existir) é a razão dos coeficientes líderes. Aqui o coeficiente líder do numerador é
(de
) e do denominador é
(de
), então
, que coincide com o cálculo acima.
Resposta
Assíntota horizontal:
Assíntotas verticais: e
Assíntotas verticais: