Resolver o P.V.I.s abaixo:
ly^prime=-x+x y^2y+x^2 y y(1)=7

Passo 1

Estamos diante de um problema de valor inicial (P.V.I.) para uma equação diferencial de primeira ordem, onde o objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz
y' = -x + x y^2y + x^2 y, y(1)=7
O conteúdo principal aqui é separação de variáveis e integração de funções racionais simples.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a derivada de forma a evidenciar a separação de variáveis. Note que
y' = dydx = -x(1+y^2)y(1+x^2)
Agora agrupamos termos em y de um lado e em x do outro:
y1+y^2,dy = -x1+x^2,dx

Passo 3

Em seguida, integramos ambos os lados. Do lado esquerdo temos
integral y1+y^2,dy = 12 ln(1+y^2) + C1,
e do lado direito
integral -x1+x^2,dx = -12 ln(1+x^2) + C2
Podemos combinar as constantes em uma só C.

Passo 4

Somando as expressões obtidas, obtemos a forma implícita da solução geral:
12 ln(1+y^2) + 12 ln(1+x^2) = C
ou, combinando os logaritmos,
lnl((1+y^2)(1+x^2)r) = C
elevando em forma exponencial,
(1+y^2)(1+x^2) = K,
com K = e^C.

Passo 5

Para determinar K, usamos a condição inicial y(1)=7:
(1+7^2)(1+1^2) = 50 times 2 = 100 implies K = 100
Logo
(1+y^2)(1+x^2) = 100
e isolando y:
y^2 = 1001+x^2 - 1 = 99 - x^21+x^2
Como y(1)=7>0, escolhemos o ramo positivo.

Passo 6

Assim chegamos à solução específica do P.V.I.:
y(x) = raiz99 - x^21 + x^2

Resposta

y(x)=raiz99 - x^21 + x^2

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