Resolver o P.V.I.s abaixo:
Passo 1
Estamos diante de um problema de valor inicial (P.V.I.) para uma equação diferencial de primeira ordem, onde o objetivo é encontrar a função
que satisfaz
O conteúdo principal aqui é separação de variáveis e integração de funções racionais simples.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a derivada de forma a evidenciar a separação de variáveis. Note que
Agora agrupamos termos em
de um lado e em
do outro:
Passo 3
Em seguida, integramos ambos os lados. Do lado esquerdo temos
e do lado direito
Podemos combinar as constantes em uma só
.
Passo 4
Somando as expressões obtidas, obtemos a forma implícita da solução geral:
ou, combinando os logaritmos,
elevando em forma exponencial,
com
.
Passo 5
Para determinar
, usamos a condição inicial
:
Logo
e isolando
:
Como
, escolhemos o ramo positivo.
Passo 6
Assim chegamos à solução específica do P.V.I.: