Resolver as E.D.O.s abaixo:
y^prime=y^2x^4-yx

Passo 1

O enunciado pede para resolver a E.D.O. y'=y^2x^4-yx. O conteúdo envolvido é uma equação de Bernoulli de grau n=2, e vamos usar a mudança de variável própria desse tipo de equação para reduzir a um caso linear.

Passo 2

Primeiro, colocamos a E.D.O. na forma padrão de Bernoulli:
dydx + 1x,y = y^2x^4

Passo 3

Como n=2, fazemos a substituição z = y^1-n = y^-1. Calculamos
dzdx = -y^-2dydx, e multiplicamos a equação original por y^-2 para obter
y^-2dydx + 1x,y^-1 = 1x^4
Substituindo y^-2dydx = -dzdx e y^-1=z, resulta uma equação linear em z:
-dzdx + 1xz = 1x^4 Longrightarrow dzdx - 1xz = -1x^4

Passo 4

Para resolver essa linear, o fator integrante é
mu(x) = e^integral -1xdx = x^-1
Multiplicando a equação por x^-1 temos
x^-1dzdx - x^-2z = -x^-5Longrightarrow ddxl(zxr) = -1x^5

Passo 5

Integramos ambos os lados:
zx = integral -x^-5dx = 14x^4 + C
Logo
z = Cx + 14x^3

Passo 6

Voltando a z=1/y, temos
1y = Cx + 14x^3 e, isolando y,
y(x) = 4x^34C x^4 + 1

Passo 7

Como C é constante arbitrária, podemos definir A=4C e escrever mais simplesmente:
y(x) = A,x^31 + A,x^4, onde A é a constante de integração.

Resposta

y(x) = dfracA,x^31 + A,x^4, onde A é a constante de integração.

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