Sem utilizar a regra de LHospital calcule os seguintes limites
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar o limite
sem usar L’Hospital. O conteúdo envolvido é comportamento de funções exponencial e trigonométrica em extremos de domínio. Vamos usar principalmente o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) e a ideia de que
quando
.
Passo 2
Como
, temos
. E sabemos da teoria de funções trigonométricas que, para todo
real próximo de zero, vale a desigualdade $ |\sin(t)|\le |t|$. Substituindo
, obtemos:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
, ficamos com
Esse passo é chave porque nos dá uma cota superior não negativa para o valor absoluto da nossa expressão.
Passo 4
Agora, analisamos o limite da cota superior quando
. Como
decai
bem mais rápido que qualquer potência de , temos
bem mais rápido que qualquer potência de
Logo, pelo Teorema do Confronto, a função original também tende a zero.
Passo 5
Concluímos então que o limite da expressão dada é zero.
Passo 6
Final Answer: O limite vale 0.
Resposta
0