Sem utilizar a regra de LHospital calcule os seguintes limites
lim x -infty e^x sen(1x)

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar o limite limxto -infty e^x,sinl(1/xr) sem usar L’Hospital. O conteúdo envolvido é comportamento de funções exponencial e trigonométrica em extremos de domínio. Vamos usar principalmente o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) e a ideia de que 1/xto 0 quando xto -infty.

Passo 2

Como xto -infty, temos 1/xto 0. E sabemos da teoria de funções trigonométricas que, para todo t real próximo de zero, vale a desigualdade $ |\sin(t)|\le |t|$. Substituindo |sin(t)|<= |t|, obtemos:
t=1/x

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por e^x>=0, ficamos com
|e^x,sin(1/x)|<= e^x,|1/x|
Esse passo é chave porque nos dá uma cota superior não negativa para o valor absoluto da nossa expressão.

Passo 4

Agora, analisamos o limite da cota superior quando xto -infty. Como e^x decai
bem mais rápido que qualquer potência de x, temos
limxto -infty e^x,1|x|=0
Logo, pelo Teorema do Confronto, a função original também tende a zero.

Passo 5

Concluímos então que o limite da expressão dada é zero.

Passo 6

Final Answer: O limite vale 0.

Resposta

0

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