Resolver as E.D.O.s abaixo:
y^prime-4x^2 y=6x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a E.D.O. de 1º ordem linear y' - 4x^2y = 6x^2. O conteúdo aqui é o método do fator integrante, e vamos precisar identificar P(x) e Q(x), calcular o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Comparando com a forma padrão y' + P(x)y = Q(x), vemos que P(x) = -4x^2 e Q(x) = 6x^2. Então o fator integrante é dado por
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral -4x^2,dxr) = expl(4/xr)

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x). O lado esquerdo vira derivada do produto e o direito fica
expl(4/xr),l(y' - 4x^2yr) = 6x^2,e^4/x Longrightarrow ddxl(e^4/xyr) = 6x^2e^4/x

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x. Para o lado direito, usamos a substituição u = tfrac4x, logo du = -tfrac4x^2dx, ou seja, dx/x^2 = -du/4. Assim
integral 6x^2e^4/x,dx = 6integral e^ul(-du4r) = -32integral e^u,du = -32e^u + C = -32e^4/x + C

Passo 5

Portanto temos
e^4/xy = -32e^4/x + C

Passo 6

Finalmente, isolamos y dividindo por e^4/x:
y(x) = -32 + C e^-4/x

Resposta

y(x) = C e^-4/x - tfrac32

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