Resolver as E.D.O.s abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a E.D.O.
Esse tipo de equação é da matéria de equações diferenciais e tem a forma de Bernoulli porque envolve termos de
. Para resolver, vamos usar a transformação de Bernoulli seguida do método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão dividindo tudo por
(assumindo
) para isolar
:
Assim temos
,
e o expoente
.
Passo 3
Para lidar com o termo não linear
, usamos a transformação de Bernoulli:
Precisamos relacionar
com
. Como
, obtemos:
Passo 4
Substituindo
e
na forma padrão da E.D.O. ficamos com:
Dividindo por
(supondo
):
E dividindo tudo por 2:
Agora é uma E.D.O. linear de primeira ordem em
.
Passo 5
Para resolver a E.D.O. linear
com
e
, calculamos o fator integrante:
Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Logo:
Passo 7
Voltando à variável original
, temos
, então:
e elevando ao quadrado:
Resposta
y = x^4\Bigl(\tfrac12\ln|x| + C\Bigr)^2