Resolver as E.D.O.s abaixo:
x y^prime-4 y=x^2 raizy

Passo 1

O enunciado pede para resolver a E.D.O.
x,y' - 4y = x^2raizy
Esse tipo de equação é da matéria de equações diferenciais e tem a forma de Bernoulli porque envolve termos de y' + P(x)y = Q(x)y^n. Para resolver, vamos usar a transformação de Bernoulli seguida do método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão dividindo tudo por x (assumindo xneq0) para isolar y':
y' - 4xy = xraizy
Assim temos P(x) = -4/x, Q(x) = x e o expoente n = 1/2.

Passo 3

Para lidar com o termo não linear raizy = y^1/2, usamos a transformação de Bernoulli:
z = y^1 - n = y^1/2
Precisamos relacionar z' com y'. Como z' = tfrac12y^-1/2y', obtemos:
y' = 2z,z'

Passo 4

Substituindo y = z^2 e y' = 2z,z' na forma padrão da E.D.O. ficamos com:
2z,z' - 4xz^2 = xz
Dividindo por z (supondo y>0):
2z' - 4xz = x
E dividindo tudo por 2:
z' - 2xz = x2
Agora é uma E.D.O. linear de primeira ordem em z.

Passo 5

Para resolver a E.D.O. linear
z' + Pz(x),z = Qz(x)
com Pz(x) = -2/x e Qz(x) = x/2, calculamos o fator integrante:
mu(x) = expl(integral Pz(x),dxr) = expl(integral -tfrac2x,dxr) = x^-2
Multiplicamos a equação por mu:
x^-2z' - 2x^-3z = 12x
O lado esquerdo é a derivada do produto:
ddxl(x^-2zr) = 12x

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^-2z = 12integral 1x,dx = 12ln|x| + C
Logo:
z = x^2l(12ln|x| + Cr)

Passo 7

Voltando à variável original y, temos z = raizy, então:
raizy = x^2l(12ln|x| + Cr)
e elevando ao quadrado:
y = x^4l(12ln|x| + Cr)^2

Resposta

y = x^4\Bigl(\tfrac12\ln|x| + C\Bigr)^2

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